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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 Sa 16.01.2010 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie den Grenzwert [mm] \lim_{x\to \infty}\ (1+\bruch{1}{x^2})^x. [/mm] |
Hallo Leute,
ich find im Moment die obige Aufgabe nich mehr in meinen Unterlagen. Ich bin mir aber noch ziemlich sicher, dass das ganze gegen 1 laufen muss. Ich wollts jetz eben selber nochmal kurz herleiten, aber komm einfach nich drauf. Was wäre denn hier die geeignete Idee, um draufzukommen? Besten Dank schon mal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:59 Sa 16.01.2010 | | Autor: | kegel53 |
Keiner schnell ne Idee parat?? Danke schon mal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:09 Sa 16.01.2010 | | Autor: | johnyan |
kann deine frage gerade nicht beantworten, nur meine idee ist
$ [mm] \lim_{x\to \infty}\ (1+\bruch{1}{x})^x [/mm] = e. $ das ist deiner funktion schon mal ähnlich, ob du das gebrauchen kannst...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:13 Sa 16.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo kegel!
Mir fällt leider nur folgender Weg ein:
[mm] $$\lim_{x\to \infty}\left(1+\bruch{1}{x^2}\right)^x [/mm] \ = \ [mm] \lim_{x\to \infty}\left(1-\bruch{-1}{x^2}\right)^x [/mm] \ = \ [mm] \lim_{x\to \infty}\left(1-\bruch{i^2}{x^2}\right)^x [/mm] \ = \ [mm] \lim_{x\to \infty}\left[1-\left(\bruch{i}{x}\right)^2\right]^x [/mm] \ = \ [mm] \lim_{x\to \infty}\left[\left(1+\bruch{i}{x}\right)*\left(1-\bruch{i}{x}\right)\right]^x [/mm] \ = \ [mm] \lim_{x\to \infty}\left(1+\bruch{i}{x}\right)^x*\left(1+\bruch{-i}{x}\right)^x [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Sa 16.01.2010 | | Autor: | kegel53 |
Hey Loddar,
vielen Dank das reicht mir schon. Jetz weiß ich wie es funkt.
Dank dir vielmals.
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Hallo kegel53,
> Bestimmen Sie den Grenzwert [mm]\lim_{x\to \infty}\ (1+\bruch{1}{x^2})^x.[/mm]
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> Hallo Leute,
>
> ich find im Moment die obige Aufgabe nich mehr in meinen
> Unterlagen. Ich bin mir aber noch ziemlich sicher, dass das
> ganze gegen 1 laufen muss. Ich wollts jetz eben selber
> nochmal kurz herleiten, aber komm einfach nich drauf. Was
> wäre denn hier die geeignete Idee, um draufzukommen?
Ich denke, es klappt ganz vernünftig mit de l'Hôpital:
Für $a>0$ kannst du schreiben:
[mm] $a^b=e^{\ln\left(a^b\right)}=e^{b\cdot{}\ln(a)}$
[/mm]
Das ergibt hier:
[mm] $\left(1+\frac{1}{x^2}\right)^x=\left(\frac{x^2+1}{x^2}\right)^x=e^{x\cdot{}\ln\left(\frac{x^2+1}{x^2}\right)}$
[/mm]
Nun ist die e-Funktion stetig, also [mm] $\lim\limits_{x\to\infty}e^{g(x)}=e^{\lim\limits_{x\to\infty}g(x)}$
[/mm]
Greife dir also den Exponenten heraus und schaue, was der für [mm] $x\to\infty$ [/mm] treibt.
[mm] $x\cdot{}\ln\left(\frac{x^2+1}{x^2}\right)$
[/mm]
Schreibe das um zu [mm] $\frac{\ln\left(\frac{x^2+1}{x^2}\right)}{\frac{1}{x}}$
[/mm]
Das Biest strebt nun für [mm] $x\to\infty$ [/mm] gegen den unbestimmten Ausdruck [mm] $\frac{0}{0}$
[/mm]
Also kannst du de l'Hôpital anwenden, Zähler und Nenner getrennt ableiten und dann nochmal den GW für [mm] $x\to\infty$ [/mm] anschauen
Am Ende nicht vergessen, das Ganze [mm] $e^{GW}$ [/mm] zu nehmen ...
> Besten Dank schon mal.
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:36 Sa 16.01.2010 | | Autor: | kegel53 |
Hey vielen Dank. Deine Idee is auch nich übel. Schönen Abend noch.
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