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| Aufgabe | | Zeige: [mm] $\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)^{n}\to [/mm] 1$ [mm] $(n\to\infty)$ [/mm] |
Hallo!
Bei obiger Aufgabe gibt es eine "einfache" Lösung, wenn man die Formel [mm]e^{x} = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}[/mm] kennt:
[mm]\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)^{n} = \left(\frac{n-1}{n}\right)^{n}*\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n} \to \frac{1}{e}*e = 1[/mm].
Ich wollte die Aufgabe aber versuchen, mit "minimalen" Vorwissen zu lösen, also entweder nur mit Kenntnis von $e = [mm] \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ [/mm] oder ganz ohne. Gibt es da auch eine Möglichkeit (also nur so Bernoullische Ungleichung, binomischer Lehrsatz, ...)?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:19 Fr 03.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Zeige: [mm]\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)^{n}\to 1[/mm]
> [mm](n\to\infty)[/mm]
> Hallo!
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> Bei obiger Aufgabe gibt es eine "einfache" Lösung, wenn
> man die Formel [mm]e^{x} = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}[/mm]
> kennt:
>
> [mm]\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)^{n} = \left(\frac{n-1}{n}\right)^{n}*\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n} \to \frac{1}{e}*e = 1[/mm].
>
> Ich wollte die Aufgabe aber versuchen, mit "minimalen"
> Vorwissen zu lösen, also entweder nur mit Kenntnis von [mm]e = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}[/mm]
> oder ganz ohne. Gibt es da auch eine Möglichkeit (also nur
> so Bernoullische Ungleichung, binomischer Lehrsatz, ...)?
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe!
> Grüße,
> Stefan
Hallo,
das ausmultiplizieren des Terms [mm] \left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)^{n} [/mm] mit dem binomischen Satz liefert was alternierendes...
Vielleicht geht das auf diesem Weg.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:29 Fr 03.09.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeige: [mm]\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)^{n}\to 1[/mm]
> [mm](n\to\infty)[/mm]
> Hallo!
>
> Bei obiger Aufgabe gibt es eine "einfache" Lösung, wenn
> man die Formel [mm]e^{x} = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}[/mm]
> kennt:
>
> [mm]\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)^{n} = \left(\frac{n-1}{n}\right)^{n}*\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n} \to \frac{1}{e}*e = 1[/mm].
>
> Ich wollte die Aufgabe aber versuchen, mit "minimalen"
> Vorwissen zu lösen, also entweder nur mit Kenntnis von [mm]e = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}[/mm]
> oder ganz ohne. Gibt es da auch eine Möglichkeit (also nur
> so Bernoullische Ungleichung, binomischer Lehrsatz, ...)?
es geht mit minimalen Vorwissen aber genau so, wie Du es getan hast:
Es gilt (o.E. im folgenden $n [mm] \ge [/mm] 2$)
[mm] $$(1-\;1/n^2)^n=(1\;+1/n)^n*(1\;-1/n)^n$$
[/mm]
und mit
[mm] $$(1\;-1/n)^n=\frac{1}{\left(\frac{n-1+1}{n-1}\right)^n}=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n-1}*\left(1+\frac{1}{n-1}\right)}$$
[/mm]
folgt
[mm] $$(1\;-1/n)^n \to \frac{1}{e*(1+0)}=e^{-1}\,.$$
[/mm]
P.S.:
Beachte: Aus [mm] $a_n \to [/mm] a$ folgt (für eine feste natürliche Zahl [mm] $k\,$) [/mm] auch [mm] $a_{n-k} \to [/mm] a$ (jeweils bei $n [mm] \to \infty$).
[/mm]
Bzgl. oben heißt das, dass ich folgendes benutzt habe (für [mm] $k=1\,$):
[/mm]
Mit [mm] $a_n=(1\;+1/n)^n$ [/mm] gilt [mm] $a_n \to [/mm] e$ und damit auch [mm] $a_{n-1} \to e\,.$
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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Hallo Marcel, hallo abakus,
vielen Dank für Eure Antworten und Hinweise!
Grüße,
Stefan
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Hallo Stefan,
hier ein dritter Ansatz:
Es gilt [mm] 1^n>\left(1-\bruch{1}{n^2}\right)^n\ge 1-\bruch{1}{n}
[/mm]
Das sollte als Schachtelung doch reichen. 
Grüße
reverend
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Hallo reverend,
danke für deine Antwort!
> Hallo Stefan,
>
> hier ein dritter Ansatz:
>
> Es gilt [mm]1^n>\left(1-\bruch{1}{n^2}\right)^n\ge 1-\bruch{1}{n}[/mm]
>
> Das sollte als Schachtelung doch reichen.
Sehr hübsch 
Allerdings ist mir noch nicht ganz klar, wie du auf die zweite Ungleichung kommst.
[mm] $\left(1-\bruch{1}{n^2}\right)^n [/mm] = [mm] \left(1-\bruch{1}{n}\right)^n*\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n [/mm] > [mm] \left(1-\bruch{1}{n}\right)^n [/mm] $
ist mir klar, bringt ja aber nichts. Vielleicht habe ich nur ein Brett vorm Kopf?
Mit der bernoullischen Ungleichung würde ich ja nur bei
[mm] $\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)^{n} \ge [/mm] 1 + [mm] n*\frac{1}{n^2} [/mm] = 1 + [mm] \frac{1}{n}$
[/mm]
weiterkommen (aber da habe ich keine obere Schranke).
Grüße,
Stefan
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Hallo Stefan,
> Allerdings ist mir noch nicht ganz klar, wie du auf die
> zweite Ungleichung kommst.
>
> [mm]\left(1-\bruch{1}{n^2}\right)^n = \left(1-\bruch{1}{n}\right)^n*\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n > \left(1-\bruch{1}{n}\right)^n[/mm]
>
> ist mir klar, bringt ja aber nichts. Vielleicht habe ich
> nur ein Brett vorm Kopf?
> Mit der bernoullischen Ungleichung würde ich ja nur bei
>
> [mm]\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)^{n} \ge 1 + n*\frac{1}{n^2} = 1 + \frac{1}{n}[/mm]
>
> weiterkommen (aber da habe ich keine obere Schranke).
Hmmm. War die Aufgabe nicht, [mm] \lim_{n\to\infty}\left(1\blue{-}\bruch{1}{n^2}\right)^2 [/mm] zu bestimmen? Dann folgt die rechte Ungleichung doch unmittelbar aus Bernoulli.
Für [mm] \left(1\blue{+}\bruch{1}{n^2}\right)^2 [/mm] ist der Ansatz von Gonozal besser geeignet (dann natürlich monoton fallend und Infimum).
Grüße
reverend
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Hallo reverend,
> > Allerdings ist mir noch nicht ganz klar, wie du auf die
> > zweite Ungleichung kommst.
> >
> > [mm]\left(1-\bruch{1}{n^2}\right)^n = \left(1-\bruch{1}{n}\right)^n*\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n > \left(1-\bruch{1}{n}\right)^n[/mm]
>
> >
> > ist mir klar, bringt ja aber nichts. Vielleicht habe ich
> > nur ein Brett vorm Kopf?
> > Mit der bernoullischen Ungleichung würde ich ja nur
> bei
> >
> > [mm]\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)^{n} \ge 1 + n*\frac{1}{n^2} = 1 + \frac{1}{n}[/mm]
>
> >
> > weiterkommen (aber da habe ich keine obere Schranke).
> Hmmm. War die Aufgabe nicht,
> [mm]\lim_{n\to\infty}\left(1\blue{-}\bruch{1}{n^2}\right)^2[/mm] zu
> bestimmen? Dann folgt die rechte Ungleichung doch
> unmittelbar aus Bernoulli.
Zunächst: Die Aufgabe lautet [mm]\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)^{\red{n}}[/mm].
Und oben das mit dem Plus hatte ich angebracht (nur als Vergleich), weil ich bis vor wenigen Minuten davon überzeugt war, dass die Ungleichung nur für [mm]x\ge 0 [/mm] gilt. Sie gilt ja aber auch für [mm]x \ge -1[/mm], und dann geht natürlich deine vorgeschlagene Abschätzung wunderbar wegen [mm]\left(-\frac{1}{n^{2}}\right) \ge -1[/mm]:
[mm]\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)^{n} \ge 1 + n*\left(-\frac{1}{n^{2}}\right) = 1 - \frac{1}{n}[/mm]
Danke!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:31 Sa 04.09.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Stefan,
> Zunächst: Die Aufgabe lautet
> [mm]\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)^{\red{n}}[/mm].
Äh, klar. Da habe ich mich mal wieder in der Eile vertippt. Mit einem Quadrat wäre die Aufgabe aber auch etwas zuuu langweilig, oder?
Dass Bernoulli für [mm] x\ge{-1} [/mm] gilt, wird oft übersehen. Dabei lassen sich recht viele Abschätzungen so substituieren, dass Bernoulli anwendbar ist. Trotz der groben Abschätzung ist es immerhin eine verlässliche...
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:56 Sa 04.09.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo reverend,
>
> danke für deine Antwort!
>
> > Hallo Stefan,
> >
> > hier ein dritter Ansatz:
> >
> > Es gilt [mm]1^n>\left(1-\bruch{1}{n^2}\right)^n\ge 1-\bruch{1}{n}[/mm]
>
> >
> > Das sollte als Schachtelung doch reichen.
>
> Sehr hübsch
> Allerdings ist mir noch nicht ganz klar, wie du auf die
> zweite Ungleichung kommst.
>
> [mm]\left(1-\bruch{1}{n^2}\right)^n = \left(1-\bruch{1}{n}\right)^n*\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n > \left(1-\bruch{1}{n}\right)^n[/mm]
>
> ist mir klar, bringt ja aber nichts. Vielleicht habe ich
> nur ein Brett vorm Kopf?
> Mit der bernoullischen Ungleichung würde ich ja nur bei
>
> [mm]\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)^{n} \ge 1 + n*\frac{1}{n^2} = 1 + \frac{1}{n}[/mm]
>
> weiterkommen (aber da habe ich keine obere Schranke).
wieso? Es gilt
[mm] $$(1\;+x)^n \ge [/mm] 1+n*x$$
für alle natürlichen [mm] $n\,$ [/mm] und alle $x [mm] \ge -1\,.$ [/mm] (Vgl. ![[]](/images/popup.gif) hier - man sieht es aber auch im Beweis.)
Manchmal wird der Satz "zu schwach" formuliert (dann steht da "nur" $x [mm] \ge [/mm] 0$). Strenggenommen muss man auch aufpassen, dass man sich nicht verwirren läßt, denn in der Formulierung ist das [mm] $x\,$ [/mm] ja eigentlich fest, bei Dir sind die [mm] $x_n=1/n^2$ [/mm] "variabel". Zum Glück steht im dem Satz aber, dass diese Ungleichung für "alle" diese [mm] $x\,$ [/mm] gilt.
D.h. strenggenommen müßte man sagen, dass man für jedes [mm] $n\,$ [/mm] (bzw. für jedes [mm] $x_n$) [/mm] die Bernoullische Ungleichung anwendet.
Beste Grüße,
Marcel
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Huhu,
auch wenns einfacher als reverend nicht mehr geht:
Die Folge ist monoton wachsend und 1 ist Supremum, somit auch GW.
MFG,
Gono.
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Hallo Gonozal_IX,
danke für deine Antwort!
Allerdings will mir noch nicht recht einleuchten, dass 1 ein "offensichtliches" Supremum der Folge ist. Mir ist klar, dass es eine obere Schranke ist.
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:00 Sa 04.09.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Gonozal_IX,
>
> danke für deine Antwort!
> Allerdings will mir noch nicht recht einleuchten, dass 1
> ein "offensichtliches" Supremum der Folge ist. Mir ist
> klar, dass es eine obere Schranke ist.
naja, da gibt's verschiedene Möglichkeiten. Und mal wieder die naheliegendste:
Wegen Bernoulli gilt
[mm] $$(1\;-1/n^2)^n \ge 1\;-n*1/n^2=1-1/n \to 1\,.$$
[/mm]
(Das ist (bis auf eine minimale Abweichung) das gleiche, wie Reverend geschrieben hat.)
Alternativ kann man auch wieder die bin. Formel benutzen oder oder oder...
Ob's da was banaleres als Bernoulli gibt, weiß ich gerade nicht. Ein [mm] $\epsilon-n_\epsilon$-Beweis [/mm] erscheint mir hier jedenfalls nicht besonders günstig...
Beste Grüße,
Marcel
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Hallo Marcel,
danke für deine Antwort!
Damit ist für mich jetzt alles geklärt.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:51 Sa 04.09.2010 | | Autor: | ONeill |
Hi!
Würde es nicht reichen, wenn man sagt, dass
[mm] \frac{1}{n^2}\to0, [/mm] für [mm] n\to\infty
[/mm]
Daraus ergibt sich doch letztendlich [mm] 1^n [/mm] und das ist dann doch soweiso 1.
Gruß Christian
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:10 Sa 04.09.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi!
>
> Würde es nicht reichen, wenn man sagt, dass
> [mm]\frac{1}{n^2}\to0,[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm]
>
> Daraus ergibt sich doch letztendlich [mm]1^n[/mm] und das ist dann
> doch soweiso 1.
nein, es ist wichtig, "wie schnell" bei [mm] $((1+a_n)^n)_n$ [/mm] die Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] gegen [mm] $0\,$ [/mm] strebt. Beachte auch:
Bei [mm] $(1\;-1/n^2)^n$ [/mm] erhältst Du mit wachsendem [mm] $n\,$ [/mm] auch eine wachsende Anzahl von Faktoren [mm] ($\rightarrow$[/mm] unendliches Produkt).
Und auch der Grenzwertsatz
[mm] $$a_n^{(p)} \to a^{(p)} \text{ für alle }p \in \{1,\ldots,k\} \Rightarrow a_n^{(1)}*...*a_n^{(k)} \to a^{(1)}*...*a^{(k)}\;\;\;(n \to \infty)$$
[/mm]
gilt für eine feste natürliche Zahl [mm] $k\,,$ [/mm] d.h. die "Folgenglieder ("Faktoren") bestehen immer aus einer festen (beschränkten) Anzahl von Faktoren" - oben nimmt die Anzahl der Faktoren mit jedem [mm] $n\,$ [/mm] zu.
Da darf man sich nicht beirren lassen!
P.S.:
Auch bei [mm] $(b_n)_n\equiv((1\;+1/n)^n)_n$ [/mm] gilt $1/n [mm] \to 0\,,$ [/mm] aber [mm] $b_n \to [/mm] e > [mm] 1\,.$
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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