Grenzwert bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | S ist wie folgt definiert:
[mm] S=\summe_{k=1}^{\infty}5*(\bruch{1}{2})^k+\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{2}*(\bruch{3}{4})^{k+1}
[/mm]
Konvergiert S? Wenn ja, gegen welchen Wert? |
Hallo,
also der erste Teil, dass ist doch die geometrische Reihe, also
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}5*(\bruch{1}{2})^k=5*\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{2})^k
[/mm]
und das konvergiert gegen [mm] 5*\bruch{1}{1-q}= 5*\bruch{1}{1-0,5}=10
[/mm]
aber wie mache ich das bei [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{2}*(\bruch{3}{4})^{k+1}?? [/mm] sieht ja auch sehr stark nach der geometrischen Reihe aus... nur weiß gerade nicht, wie ich mit dem k+1 umgehen muss
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> S ist wie folgt definiert:
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> [mm]S=\summe_{k=1}^{\infty}5*(\bruch{1}{2})^k+\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{2}*(\bruch{3}{4})^{k+1}[/mm]
>
> Konvergiert S? Wenn ja, gegen welchen Wert?
> Hallo,
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> also der erste Teil, dass ist doch die geometrische Reihe,
> also
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}5*(\bruch{1}{2})^k=5*\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{2})^k[/mm]
Hallo,
soweit richtig.
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> und das konvergiert gegen [mm]5*\bruch{1}{1-q}= 5*\bruch{1}{1-0,5}=10[/mm]
Nein, bedenke daß die Summation in Deiner Aufgabe erst bei 1 beginnt und nicht bei 0.
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> aber wie mache ich das bei
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{2}*(\bruch{3}{4})^{k+1}??[/mm]
> sieht ja auch sehr stark nach der geometrischen Reihe
> aus...nur weiß gerade nicht, wie ich mit dem k+1 umgehen
> muss
Potengesetze anwenden: [mm] a^{k+1}=a*a^k.
[/mm]
LG Angela
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HI, das heißt, ich muss so vorgehen:
[mm] S=\summe_{k=1}^{\infty}5\cdot{}(\bruch{1}{2})^k+\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{2}\cdot{}(\bruch{3}{4})^{k+1}
[/mm]
[mm] =5*\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{2})^k+\bruch{1}{2}*\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{3}{4}(\bruch{3}{4})^{k}
[/mm]
[mm] =5*\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{2})^k+\bruch{3}{8}*\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{3}{4})^{k}
[/mm]
Und wenn ich jetzt bei k=0 beginnen möchte, muss ich doch unten in Index einen abziehen, und das heißt oben im Exponenten einen dazu zählen, oder? also
[mm] =5*\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{2})^k+\bruch{3}{8}*\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{3}{4})^{k}
[/mm]
[mm] =5*\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{1}{2})^{k+1}+\bruch{3}{8}*\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{3}{4})^{k+1}
[/mm]
[mm] =\bruch{5}{2}*\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{1}{2})^{k}+\bruch{9}{32}*\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{3}{4})^{k}
[/mm]
und jetzt bei beiden Reihen den Grenzwert mit der Formal [mm] s=\bruch{1}{1-q} [/mm] bestimmen?
Und dann komme ich auf [mm] S=5+\bruch{9}{8}=\bruch{49}{8}
[/mm]
könnt ihr das so bestätigen??
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:59 Di 16.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> HI, das heißt, ich muss so vorgehen:
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> [mm]S=\summe_{k=1}^{\infty}5\cdot{}(\bruch{1}{2})^k+\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{2}\cdot{}(\bruch{3}{4})^{k+1}[/mm]
>
> [mm]=5*\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{2})^k+\bruch{1}{2}*\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{3}{4}(\bruch{3}{4})^{k}[/mm]
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> [mm]=5*\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{2})^k+\bruch{3}{8}*\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{3}{4})^{k}[/mm]
>
>
> Und wenn ich jetzt bei k=0 beginnen möchte, muss ich doch
> unten in Index einen abziehen, und das heißt oben im
> Exponenten einen dazu zählen, oder? also
>
> [mm]=5*\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{2})^k+\bruch{3}{8}*\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{3}{4})^{k}[/mm]
>
> [mm]=5*\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{1}{2})^{k+1}+\bruch{3}{8}*\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{3}{4})^{k+1}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{5}{2}*\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{1}{2})^{k}+\bruch{9}{32}*\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{3}{4})^{k}[/mm]
>
> und jetzt bei beiden Reihen den Grenzwert mit der Formal
> [mm]s=\bruch{1}{1-q}[/mm] bestimmen?
>
> Und dann komme ich auf [mm]S=5+\bruch{9}{8}=\bruch{49}{8}[/mm]
>
> könnt ihr das so bestätigen??
Ja, das stimmt.
FRED
>
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Hi,
dann habe ich nur nochmal eine Frage zu einer anderen Vereinfachung, auch wenn es nicht zur Aufgabe gehört, aber es ist dasselbe Thema.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2^n}{5^{n-1}}
[/mm]
hier wollen die auch im Index auf n=0 kommen, und schreiben einfach
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2^n}{5^{n-1}}=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{2^n}{5^{n-1}}-5
[/mm]
Wie wurde das hier gemacht? Wie kommen die auf die -5??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 Di 16.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
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> dann habe ich nur nochmal eine Frage zu einer anderen
> Vereinfachung, auch wenn es nicht zur Aufgabe gehört, aber
> es ist dasselbe Thema.
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2^n}{5^{n-1}}[/mm]
>
> hier wollen die auch im Index auf n=0 kommen, und schreiben
> einfach
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2^n}{5^{n-1}}=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{2^n}{5^{n-1}}-5[/mm]
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> Wie wurde das hier gemacht? Wie kommen die auf die -5??
Für n=0: [mm] \bruch{2^n}{5^{n-1}}=5
[/mm]
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{2^n}{5^{n-1}}=5+\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2^n}{5^{n-1}}
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:30 Di 16.10.2012 | | Autor: | steve.joke |
Danke!!
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