Grenzwert bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:25 Mi 02.01.2013 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | | [mm] a_{n}=\bruch{1}{n^{3}}*\summe_{k=1}^{n} (2k-1)^{2} [/mm] |
Hallo,
ich soll den Grenzwert für die obige Folge bestimmen. Leider habe ich absolut keine Ahnung wo ich da genau anfangen soll.
Also der erste Schritt währe wohl das ausmultiplizieren. Dann sähe die Folge so aus:
[mm] a_{n}=\bruch{1}{n^{3}}*\summe_{k=1}^{n} (2k-1)^{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n^{3}}*\summe_{k=1}^{n} (4k^{2}-4k+1)
[/mm]
Aber weiter komm ich leider ned. Was muss ich genau machen?
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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Hallo,
> [mm]a_{n}=\bruch{1}{n^{3}}*\summe_{k=1}^{n} (2k-1)^{2}[/mm]
> Hallo,
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> ich soll den Grenzwert für die obige Folge bestimmen.
> Leider habe ich absolut keine Ahnung wo ich da genau
> anfangen soll.
>
> Also der erste Schritt währe wohl das ausmultiplizieren.
> Dann sähe die Folge so aus:
>
> [mm]a_{n}=\bruch{1}{n^{3}}*\summe_{k=1}^{n} (2k-1)^{2}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{n^{3}}*\summe_{k=1}^{n} (4k^{2}-4k+1)[/mm]
Du kannst die Summe nun auseinanderziehen.
[mm] \summe_{k=1}^{n} (4k^{2}-4k+1)=4\sum_{k=1}^{n}{k^2}-4\sum_{k=1}^{n}{k}+\sum_{k=1}^{n}1
[/mm]
Die Summen sollten dir bekannt vorkommen (Gaußsche Summenformeln).
Aber vermutlich hast du zu Beginn des Studiums auch bei Aufgaben zur vollständigen Induktion die Gleichheit
[mm] \summe_{k=1}^{n} (2k-1)^{2}=\frac{4n^3-n}{3}
[/mm]
bewiesen. Dann kannst du diese natürlich sofort nutzen.
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> Aber weiter komm ich leider ned. Was muss ich genau
> machen?
>
> Danke schonmal.
>
> Grüße
> Ali
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Mi 02.01.2013 | | Autor: | piriyaie |
Super! Dein Tipp war echt total hilfreich.
Also hier mein Lösungsvorschlag:
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n^{3}}*\summe_{k=1}^{n} (2k-1)^{2}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n^{3}}*\summe_{k=1}^{n} (2k-1)^{2} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{4-\bruch{1}{n^{2}}}{3}=\bruch{4}{3}
[/mm]
Nebenrechnung:
[mm] \bruch{1}{n^{3}}*\summe_{k=1}^{n} (2k-1)^{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n^{3}}*\bruch{4n^{3}-n}{3}=\bruch{4n^{3}-n}{3n^{3}}=\bruch{n^{3}(4-\bruch{1}{n^{2})}}{n^{3}(3)}=\bruch{4-\bruch{1}{n^{2}}}{3}
[/mm]
richtig????
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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Hallo,
> Super! Dein Tipp war echt total hilfreich.
>
> Also hier mein Lösungsvorschlag:
>
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{n^{3}}*\summe_{k=1}^{n} (2k-1)^{2}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n^{3}}*\summe_{k=1}^{n} (2k-1)^{2}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{4-\bruch{1}{n^{2}}}{3}=\bruch{4}{3}[/mm]
>
> Nebenrechnung:
>
> [mm]\bruch{1}{n^{3}}*\summe_{k=1}^{n} (2k-1)^{2}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{n^{3}}*\bruch{4n^{3}-n}{3}=\bruch{4n^{3}-n}{3n^{3}}=\bruch{n^{3}(4-\bruch{1}{n^{2})}}{n^{3}(3)}=\bruch{4-\bruch{1}{n^{2}}}{3}[/mm]
>
>
> richtig????
Ja, das stimmt. Jetzt musst du nur noch den Grenzwert der Folge bestimmen.
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> Danke schonmal.
>
> Grüße
> Ali
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 Mi 02.01.2013 | | Autor: | piriyaie |
Hab ich doch oberhalb der Nebenrechnung gemacht. Oder ist das falsch?
Der Grenzwert ist [mm] \bruch{3}{4} [/mm] .
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Sorry, Ja der erste Grenzwert ist richtig. Das hatte ich dann übersehen.
Stimmt also alles. Perfekt!
> Hab ich doch oberhalb der Nebenrechnung gemacht. Oder ist
> das falsch?
>
> Der Grenzwert ist [mm]\bruch{3}{4}[/mm] .
Der hier ist falsch. (Zahlendreher)
Schönen Abend!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:24 Mi 02.01.2013 | | Autor: | piriyaie |
Vielen dank. dir auch schönen abend :-D
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