Grenzwert bestimmen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 Fr 25.01.2013 | | Autor: | Frosch20 |
| Aufgabe | Sei q(x):=x+sin(x)cos(x) und sei p(x):=q(x)exp(sin(x)). Prüfe ob folgender Grenzwert existiert:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{q(x)}{(p(x)}, [/mm] und
ob der grenzwert der Ableitungen existiert. |
Ich wollte mit dem ersten Grenzwertanfangen, nun ist doch:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{q(x)}{p(x)}= \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{q(x)}{q(x)exp(sin(x))} [/mm] =
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{1}{exp(sin(x))}.
[/mm]
Da der Sinus periodisch schwankend ist, kann dieser Grenzwert doch garnicht existieren oder ?
Aber wie zeíg ich das ?
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Hallo Frosch20,
> Sei q(x):=x+sin(x)cos(x) und sei p(x):=q(x)exp(sin(x)).
> Prüfe ob folgender Grenzwert existiert:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{q(x)}{(p(x)},[/mm] und
> ob der grenzwert der Ableitungen existiert.
> Ich wollte mit dem ersten Grenzwertanfangen, nun ist
> doch:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{q(x)}{p(x)}= \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{q(x)}{q(x)exp(sin(x))}[/mm]
> =
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{1}{exp(sin(x))}.[/mm]
>
> Da der Sinus periodisch schwankend ist, kann dieser
> Grenzwert doch garnicht existieren oder ?
>
Ja, das ist richtig.
> Aber wie zeíg ich das ?
Zeige, daß es mindestens 2 Grenzwerte gibt,
in dem Du den Ausdruck zwischen 2 Werten einschliesst.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Sa 26.01.2013 | | Autor: | Frosch20 |
> Hallo Frosch20,
>
> > Sei q(x):=x+sin(x)cos(x) und sei p(x):=q(x)exp(sin(x)).
> > Prüfe ob folgender Grenzwert existiert:
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{q(x)}{(p(x)},[/mm] und
> > ob der grenzwert der Ableitungen existiert.
> > Ich wollte mit dem ersten Grenzwertanfangen, nun ist
> > doch:
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{q(x)}{p(x)}= \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{q(x)}{q(x)exp(sin(x))}[/mm]
> > =
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{1}{exp(sin(x))}.[/mm]
> >
> > Da der Sinus periodisch schwankend ist, kann dieser
> > Grenzwert doch garnicht existieren oder ?
> >
>
>
> Ja, das ist richtig.
>
>
> > Aber wie zeíg ich das ?
>
>
> Zeige, daß es mindestens 2 Grenzwerte gibt,
> in dem Du den Ausdruck zwischen 2 Werten einschliesst.
>
>
> Gruss
> MathePower
Hey, vielen dank schonmal.
Diese Idee kam mir auch zuerst und ich habe das ganze wie folgt abgeschätzt:
[mm] \bruch{1}{e} \le [/mm] sin(x) [mm] \le [/mm] e.
Dann habe ich mir allerdings gedacht, dass dies nicht ausreichend ist um zu zeigen, dass die Funktion zwei verschiedene Grenzwerte hat.
Immerhin könnte man ja vll auch anders abschätzen.
Deswegen habe ich mir überlegt, zwei folgen zu nehmen welche beide gegen unedlich konvergieren, für die allerdings [mm] sin(x_n) [/mm] zwei verschiedene grenzwerte besitzen.
Daraus habe ich dann gefolgert, dass die Funktion nicht konvergieren kann, denn sonst müsste der Grenzwert für beide Folgen übereinstimmen.
Das sollte doch theor. auch möglich sein oder ?
Als nächstes soll ich noch zeigen, dass
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{p(x)^(1)}{q(x)^(1)}, [/mm] wobei
[mm] \bruch{p(x)^{(1)}}{q(x)^{(1)}}:= \bruch{-sin^2(x)+cos^2(x)+1} {x*e^{sin(x)}*sin(x)*cos(x)+e^{sin(x)}*(-sin^2(x)+cos^2(x)+1} [/mm] ist.
Nun wollte ich das ganze ebfalls nach oben bzw. unten abschätzen.
Mit obiger abschätzung und der Beschränktheit von Sinus und Cosinus erhalte ich dann:
[mm] \bruch{p(x)^{(1)}}{q(x)^{(1)}}:= \bruch{-sin^2(x)+cos^2(x)+1} {x*e^{sin(x)}*sin(x)*cos(x)+e^{sin(x)}*(-sin^2(x)+cos^2(x)+1}
[/mm]
[mm] \le \bruch{3e}{x-1} \to [/mm] 0, für [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{3e}{x-1}
[/mm]
Ist das so korrekt ?
Nun soll man noch sagen, warum hier l´Hospital nicht greift bzw. an welcher fehlenden Vorraussetzung die Anwednugn scheitert.
Allerdings habe ich doch grade gezeigt dass der Grenzwert der Ableitungen existiert.
Ich denke also mal, dass man damit nicht auf den Grenzwert von
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{q(x)}{p(x)} [/mm] schlussfolgern kann, immerhin habe ich ja bereits gezeigt das dieser nicht existiert.
l´Hopital hat theor. nicht viele Vorraussetzungen.
Die Funktion muss deferenzierbar sein, und es muss etwas wie
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{q(x)}{p(x)}=\bruch{0}{0} [/mm] oder aber
auch
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{q(x)}{p(x)}=\bruch{\infty}{\infty}
[/mm]
sein. Da aber der grenzwert von sinus und cosinus nicht existiert bzw.
die Funktion periodisch schwankt kriege ich ja keinen konkreten grenzwert im Zähler zu stande das bedeutet ich habe sowas wie
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{q(x)}{p(x)}=\bruch{\mu}{\infty}, [/mm] wobei
-1 [mm] \le \mu \le [/mm] 3.
Also scheitert es an der Grenzwert Vorrausetzung, wegen der sinus und cosinus funktion.
Kann man das so sagen, bzw. hab ich den Grenzwert überhaupt richtig bestimmt ?
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Hallo Frosch20,
> > Hallo Frosch20,
> >
> > > Sei q(x):=x+sin(x)cos(x) und sei p(x):=q(x)exp(sin(x)).
> > > Prüfe ob folgender Grenzwert existiert:
> > >
> > > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{q(x)}{(p(x)},[/mm] und
> > > ob der grenzwert der Ableitungen existiert.
> > > Ich wollte mit dem ersten Grenzwertanfangen, nun ist
> > > doch:
> > >
> > > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{q(x)}{p(x)}= \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{q(x)}{q(x)exp(sin(x))}[/mm]
> > > =
> > >
> > > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{1}{exp(sin(x))}.[/mm]
> >
> >
> > > Da der Sinus periodisch schwankend ist, kann dieser
> > > Grenzwert doch garnicht existieren oder ?
> > >
> >
> >
> > Ja, das ist richtig.
> >
> >
> > > Aber wie zeíg ich das ?
> >
> >
> > Zeige, daß es mindestens 2 Grenzwerte gibt,
> > in dem Du den Ausdruck zwischen 2 Werten einschliesst.
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Hey, vielen dank schonmal.
>
> Diese Idee kam mir auch zuerst und ich habe das ganze wie
> folgt abgeschätzt:
>
> [mm]\bruch{1}{e} \le[/mm] sin(x) [mm]\le[/mm] e.
>
> Dann habe ich mir allerdings gedacht, dass dies nicht
> ausreichend ist um zu zeigen, dass die Funktion zwei
> verschiedene Grenzwerte hat.
> Immerhin könnte man ja vll auch anders abschätzen.
>
> Deswegen habe ich mir überlegt, zwei folgen zu nehmen
> welche beide gegen unedlich konvergieren, für die
> allerdings [mm]sin(x_n)[/mm] zwei verschiedene grenzwerte besitzen.
>
> Daraus habe ich dann gefolgert, dass die Funktion nicht
> konvergieren kann, denn sonst müsste der Grenzwert für
> beide Folgen übereinstimmen.
>
> Das sollte doch theor. auch möglich sein oder ?
>
Ja.
>
> Als nächstes soll ich noch zeigen, dass
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{p(x)^(1)}{q(x)^(1)},[/mm]
> wobei
>
> [mm]\bruch{p(x)^{(1)}}{q(x)^{(1)}}:= \bruch{-sin^2(x)+cos^2(x)+1} {x*e^{sin(x)}*sin(x)*cos(x)+e^{sin(x)}*(-sin^2(x)+cos^2(x)+1}[/mm]
> ist.
>
> Nun wollte ich das ganze ebfalls nach oben bzw. unten
> abschätzen.
>
> Mit obiger abschätzung und der Beschränktheit von Sinus
> und Cosinus erhalte ich dann:
>
> [mm]\bruch{p(x)^{(1)}}{q(x)^{(1)}}:= \bruch{-sin^2(x)+cos^2(x)+1} {x*e^{sin(x)}*sin(x)*cos(x)+e^{sin(x)}*(-sin^2(x)+cos^2(x)+1}[/mm]
>
> [mm]\le \bruch{3e}{x-1} \to[/mm] 0, für [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{3e}{x-1}[/mm]
>
> Ist das so korrekt ?
>
Das kann ich nicht nachvollziehen.
Das Folgenkriterium, das Du weiter oben angewendet hast,
sollte auch hier anwendbar sein.
> Nun soll man noch sagen, warum hier l´Hospital nicht
> greift bzw. an welcher fehlenden Vorraussetzung die
> Anwednugn scheitert.
>
> Allerdings habe ich doch grade gezeigt dass der Grenzwert
> der Ableitungen existiert.
> Ich denke also mal, dass man damit nicht auf den Grenzwert
> von
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{q(x)}{p(x)}[/mm]
> schlussfolgern kann, immerhin habe ich ja bereits gezeigt
> das dieser nicht existiert.
>
> l´Hopital hat theor. nicht viele Vorraussetzungen.
> Die Funktion muss deferenzierbar sein, und es muss etwas
> wie
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{q(x)}{p(x)}=\bruch{0}{0}[/mm]
> oder aber
>
> auch
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{q(x)}{p(x)}=\bruch{\infty}{\infty}[/mm]
>
> sein. Da aber der grenzwert von sinus und cosinus nicht
> existiert bzw.
> die Funktion periodisch schwankt kriege ich ja keinen
> konkreten grenzwert im Zähler zu stande das bedeutet ich
> habe sowas wie
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{q(x)}{p(x)}=\bruch{\mu}{\infty},[/mm]
> wobei
>
> -1 [mm]\le \mu \le[/mm] 3.
>
> Also scheitert es an der Grenzwert Vorrausetzung, wegen der
> sinus und cosinus funktion.
>
> Kann man das so sagen, bzw. hab ich den Grenzwert
> überhaupt richtig bestimmt ?
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:59 Sa 26.01.2013 | | Autor: | Helbig |
> > Hallo Frosch20,
> >
> > > Sei q(x):=x+sin(x)cos(x) und sei p(x):=q(x)exp(sin(x)).
> > > Prüfe ob folgender Grenzwert existiert:
> > >
> > > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{q(x)}{(p(x)},[/mm] und
> > > ob der grenzwert der Ableitungen existiert.
> > > Ich wollte mit dem ersten Grenzwertanfangen, nun ist
> > > doch:
> > >
> > > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{q(x)}{p(x)}= \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{q(x)}{q(x)exp(sin(x))}[/mm]
> > > =
> > >
> > > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{1}{exp(sin(x))}.[/mm]
> >
> >
> > > Da der Sinus periodisch schwankend ist, kann dieser
> > > Grenzwert doch garnicht existieren oder ?
> > >
> >
> >
> > Ja, das ist richtig.
> >
> >
> > > Aber wie zeíg ich das ?
> >
> >
> > Zeige, daß es mindestens 2 Grenzwerte gibt,
> > in dem Du den Ausdruck zwischen 2 Werten einschliesst.
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Hey, vielen dank schonmal.
>
> Diese Idee kam mir auch zuerst und ich habe das ganze wie
> folgt abgeschätzt:
>
> [mm]\bruch{1}{e} \le[/mm] sin(x) [mm]\le[/mm] e.
>
> Dann habe ich mir allerdings gedacht, dass dies nicht
> ausreichend ist um zu zeigen, dass die Funktion zwei
> verschiedene Grenzwerte hat.
> Immerhin könnte man ja vll auch anders abschätzen.
Hallo Frosch,
Mit dem Einschließen kann man zeigen, daß Konvergenz vorliegt. Aber hier wollen wir ja gerade zeigen, daß der Quotient nicht konvergiert.
>
> Deswegen habe ich mir überlegt, zwei folgen zu nehmen
> welche beide gegen unedlich konvergieren, für die
> allerdings [mm]sin(x_n)[/mm] zwei verschiedene grenzwerte besitzen.
>
> Daraus habe ich dann gefolgert, dass die Funktion nicht
> konvergieren kann, denn sonst müsste der Grenzwert für
> beide Folgen übereinstimmen.
>
> Das sollte doch theor. auch möglich sein oder ?
Das ist genau richtig!
>
>
> Als nächstes soll ich noch zeigen, dass
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{p(x)^(1)}{q(x)^(1)},[/mm]
> wobei
>
> [mm]\bruch{p(x)^{(1)}}{q(x)^{(1)}}:= \bruch{-sin^2(x)+cos^2(x)+1} {x*e^{sin(x)}*sin(x)*cos(x)+e^{sin(x)}*(-sin^2(x)+cos^2(x)+1}[/mm]
> ist.
>
> Nun wollte ich das ganze ebfalls nach oben bzw. unten
> abschätzen.
>
> Mit obiger abschätzung und der Beschränktheit von Sinus
> und Cosinus erhalte ich dann:
>
> [mm]\bruch{p(x)^{(1)}}{q(x)^{(1)}}:= \bruch{-sin^2(x)+cos^2(x)+1} {x*e^{sin(x)}*sin(x)*cos(x)+e^{sin(x)}*(-sin^2(x)+cos^2(x)+1}[/mm]
>
> [mm]\le \bruch{3e}{x-1} \to[/mm] 0, für [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{3e}{x-1}[/mm]
>
> Ist das so korrekt ?
Nicht ganz! Einmal hast Du nicht "eingeschlossen", sondern nur eine obere Grenze angegeben. Richtig wäre, wenn Du diese obere Grenze für den Betrag des Quotienten nachgewiesen hättest.
Deine Abschätzung habe ich im einzelnen nicht nachgeprüft, aber der Weg ist richtig.
>
> Nun soll man noch sagen, warum hier l´Hospital nicht
> greift bzw. an welcher fehlenden Vorraussetzung die
> Anwednugn scheitert.
>
> Allerdings habe ich doch grade gezeigt dass der Grenzwert
> der Ableitungen existiert.
> Ich denke also mal, dass man damit nicht auf den Grenzwert
> von
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{q(x)}{p(x)}[/mm]
> schlussfolgern kann, immerhin habe ich ja bereits gezeigt
> das dieser nicht existiert.
Richtig gefolgert!
>
> l´Hopital hat theor. nicht viele Vorraussetzungen.
praktisch auch nicht!
> Die Funktion muss deferenzierbar sein, und es muss etwas
> wie
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{q(x)}{p(x)}=\bruch{0}{0}[/mm]
> oder aber
>
> auch
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{q(x)}{p(x)}=\bruch{\infty}{\infty}[/mm]
>
> sein. Da aber der grenzwert von sinus und cosinus nicht
> existiert bzw.
> die Funktion periodisch schwankt kriege ich ja keinen
> konkreten grenzwert im Zähler zu stande das bedeutet ich
> habe sowas wie
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{q(x)}{p(x)}=\bruch{\mu}{\infty},[/mm]
> wobei
>
> -1 [mm]\le \mu \le[/mm] 3.
Dies ist jetzt stark daneben. Prüfe doch mal der Reihe nach die Voraussetzungen von L'Hospital und Du wirst eine finden, die hier nicht erfüllt ist.
Richtig ist, daß ${q(x) [mm] \over [/mm] p(x)}$ für [mm] $x\to\infty$ [/mm] nicht konvergiert und daß ${q'(x) [mm] \over [/mm] p'(x)}$ konvergiert. Weiter gilt
[mm] $\lim [/mm] p(x) = [mm] \lim [/mm] q(x) = [mm] \infty\,.$
[/mm]
Jetzt schau mal in Deinem Script nach, welche Voraussetzung noch für L'Hospital erfüllt sein muß!
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 Sa 26.01.2013 | | Autor: | Frosch20 |
> > > Hallo Frosch20,
> > >
> > > > Sei q(x):=x+sin(x)cos(x) und sei p(x):=q(x)exp(sin(x)).
> > > > Prüfe ob folgender Grenzwert existiert:
> > > >
> > > > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{q(x)}{(p(x)},[/mm] und
> > > > ob der grenzwert der Ableitungen existiert.
> > > > Ich wollte mit dem ersten Grenzwertanfangen, nun
> ist
> > > > doch:
> > > >
> > > > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{q(x)}{p(x)}= \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{q(x)}{q(x)exp(sin(x))}[/mm]
> > > > =
> > > >
> > > > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{1}{exp(sin(x))}.[/mm]
>
> > >
> > >
> > > > Da der Sinus periodisch schwankend ist, kann dieser
> > > > Grenzwert doch garnicht existieren oder ?
> > > >
> > >
> > >
> > > Ja, das ist richtig.
> > >
> > >
> > > > Aber wie zeíg ich das ?
> > >
> > >
> > > Zeige, daß es mindestens 2 Grenzwerte gibt,
> > > in dem Du den Ausdruck zwischen 2 Werten
> einschliesst.
> > >
> > >
> > > Gruss
> > > MathePower
> >
> > Hey, vielen dank schonmal.
> >
> > Diese Idee kam mir auch zuerst und ich habe das ganze wie
> > folgt abgeschätzt:
> >
> > [mm]\bruch{1}{e} \le[/mm] sin(x) [mm]\le[/mm] e.
> >
> > Dann habe ich mir allerdings gedacht, dass dies nicht
> > ausreichend ist um zu zeigen, dass die Funktion zwei
> > verschiedene Grenzwerte hat.
> > Immerhin könnte man ja vll auch anders abschätzen.
>
> Hallo Frosch,
>
> Mit dem Einschließen kann man zeigen, daß Konvergenz
> vorliegt. Aber hier wollen wir ja gerade zeigen, daß der
> Quotient nicht konvergiert.
> >
> > Deswegen habe ich mir überlegt, zwei folgen zu nehmen
> > welche beide gegen unedlich konvergieren, für die
> > allerdings [mm]sin(x_n)[/mm] zwei verschiedene grenzwerte besitzen.
> >
> > Daraus habe ich dann gefolgert, dass die Funktion nicht
> > konvergieren kann, denn sonst müsste der Grenzwert für
> > beide Folgen übereinstimmen.
> >
> > Das sollte doch theor. auch möglich sein oder ?
>
> Das ist genau richtig!
>
Okay vielen dank :)
> >
> >
> > Als nächstes soll ich noch zeigen, dass
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{p(x)^(1)}{q(x)^(1)},[/mm]
> > wobei
> >
> > [mm]\bruch{p(x)^{(1)}}{q(x)^{(1)}}:= \bruch{-sin^2(x)+cos^2(x)+1} {x*e^{sin(x)}*sin(x)*cos(x)+e^{sin(x)}*(-sin^2(x)+cos^2(x)+1}[/mm]
> > ist.
> >
> > Nun wollte ich das ganze ebfalls nach oben bzw. unten
> > abschätzen.
> >
> > Mit obiger abschätzung und der Beschränktheit von Sinus
> > und Cosinus erhalte ich dann:
> >
> > [mm]\bruch{p(x)^{(1)}}{q(x)^{(1)}}:= \bruch{-sin^2(x)+cos^2(x)+1} {x*e^{sin(x)}*sin(x)*cos(x)+e^{sin(x)}*(-sin^2(x)+cos^2(x)+1}[/mm]
>
> >
> > [mm]\le \bruch{3e}{x-1} \to[/mm] 0, für [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{3e}{x-1}[/mm]
>
> >
> > Ist das so korrekt ?
>
> Nicht ganz! Einmal hast Du nicht "eingeschlossen", sondern
> nur eine obere Grenze angegeben. Richtig wäre, wenn Du
> diese obere Grenze für den Betrag des Quotienten
> nachgewiesen hättest.
>
> Deine Abschätzung habe ich im einzelnen nicht
> nachgeprüft, aber der Weg ist richtig.
Okay, meine Abschätzung sollte auch für den Betrag funktionieren. Und da der Betrag immer größer 0 ist, kann ich nach unten gegen einer Konstanten 0-Folge abschätzen. Das wird denke ich mal der kürzeste weg sein.
> >
> > Nun soll man noch sagen, warum hier l´Hospital nicht
> > greift bzw. an welcher fehlenden Vorraussetzung die
> > Anwednugn scheitert.
> >
> > Allerdings habe ich doch grade gezeigt dass der Grenzwert
> > der Ableitungen existiert.
> > Ich denke also mal, dass man damit nicht auf den
> Grenzwert
> > von
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{q(x)}{p(x)}[/mm]
> > schlussfolgern kann, immerhin habe ich ja bereits gezeigt
> > das dieser nicht existiert.
>
> Richtig gefolgert!
>
> >
> > l´Hopital hat theor. nicht viele Vorraussetzungen.
>
> praktisch auch nicht!
>
> > Die Funktion muss deferenzierbar sein, und es muss etwas
> > wie
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{q(x)}{p(x)}=\bruch{0}{0}[/mm]
> > oder aber
> >
> > auch
> >
> >
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{q(x)}{p(x)}=\bruch{\infty}{\infty}[/mm]
> >
> > sein. Da aber der grenzwert von sinus und cosinus nicht
> > existiert bzw.
> > die Funktion periodisch schwankt kriege ich ja keinen
> > konkreten grenzwert im Zähler zu stande das bedeutet ich
> > habe sowas wie
> >
> >
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{q(x)}{p(x)}=\bruch{\mu}{\infty},[/mm]
> > wobei
> >
> > -1 [mm]\le \mu \le[/mm] 3.
>
> Dies ist jetzt stark daneben. Prüfe doch mal der Reihe
> nach die Voraussetzungen von L'Hospital und Du wirst eine
> finden, die hier nicht erfüllt ist.
Jup ich habe den Fehler gemacht, und mir f´(x) und nicht f(x) angeguckt.
>
> Richtig ist, daß [mm]{q(x) \over p(x)}[/mm] für [mm]x\to\infty[/mm] nicht
> konvergiert und daß [mm]{q'(x) \over p'(x)}[/mm] konvergiert.
> Weiter gilt
> [mm]\lim p(x) = \lim q(x) = \infty\,.[/mm]
>
> Jetzt schau mal in Deinem Script nach, welche Voraussetzung
> noch für L'Hospital erfüllt sein muß!
>
> Gruß,
> Wolfgang
Habe ich grade getan, mein Skript sagt folgendes:
Es seien, f,g:(a,b) [mm] \to \IR [/mm] differenzierbar und [mm] g´(x)\not=0 [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] (a,b).
Gilt entweder f(x) [mm] \to [/mm] 0 und g(x) [mm] \to [/mm] 0 bei x [mm] \to [/mm] a
oder f(x) [mm] \to \infinity [/mm] und g(x) [mm] \to \infinity [/mm] bei x [mm] \to [/mm] a
so gilt: Existieren
[mm] \red{\limes_{x\rightarrow a} \bruch{f ´ (x)}{g ´ (x)},} [/mm]
[mm] $$\limes_{x\rightarrow a} \bruch{f' (x)}{g' (x)},$$
[/mm]
(Edit Mod Marcel: Ableitungen in Formel "sichtbar" gemacht, bitte anderes Zeichen für Ableitung in Formel benützen!! Edit-Ende)
dann existiert auch [mm] \limes_{x\rightarrow a} \bruch{f(x)}{g(x)} [/mm] und beide Grenzwerte sind gleich. (Das eine soll die ableitung sein, leider wird das "´" immer ignoriert :/ )
(Edit: Bitte ' in Formeln verwenden!)
Jetz denke ich, dass es an folgendes scheitern wird
g´ [mm] (x)\not=0 [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] (a,b).
Denn g´ [mm] (\bruch{\pi}{2})=0.
[/mm]
Also gilt die Regel von l´Hospital nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:41 Sa 26.01.2013 | | Autor: | Helbig |
> Habe ich grade getan, mein Skript sagt folgendes:
>
> Es seien, f,g:(a,b) [mm]\to \IR[/mm] differenzierbar und
> [mm]g´(x)\not=0[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] (a,b).
>
> Gilt entweder f(x) [mm]\to[/mm] 0 und g(x) [mm]\to[/mm] 0 bei x [mm]\to[/mm] a
>
> oder f(x) [mm]\to \infinity[/mm] und g(x) [mm]\to \infinity[/mm] bei x [mm]\to[/mm] a
>
> so gilt: Existieren [mm]\limes_{x\rightarrow a} \bruch{f' (x)}{g' (x)},[/mm]
> dann existiert auch [mm]\limes_{x\rightarrow a} \bruch{f(x)}{g(x)}[/mm]
> und beide Grenzwerte sind gleich. (Das eine soll die
> ableitung sein, leider wird das "´" immer ignoriert :/ )
Ja, verwende den Apostroph, also ' und nicht einen der Akzente: ' oder ´!
>
> Jetz denke ich, dass es an folgendes scheitern wird
>
> g´ [mm](x)\not=0[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] (a,b).
>
> Denn g´ [mm](\bruch{\pi}{2})=0.[/mm]
Der eine Wert macht noch nicht alles kaputt. Aber es gibt beliebig große $x$ mit $g'(x) = [mm] 0\,,$ [/mm] und dies verletzt eine Voraussetzung von L'Hospital!
Gruß,
Wolfgang
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