Grenzwert bestimmen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:43 Do 12.12.2013 | | Autor: | Puppet |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Grenzwerte:
1) [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} \wurzel{(x+a)(x+b)}-x [/mm] (a,b) [mm] \in \IR
[/mm]
2) [mm] \limes_{x\rightarrow0} x^{2} \lfloor1/x\rfloor, \lfloor*\rfloor [/mm] ist hier die Floor Funktion |
Hallo Matheraum,
Stecke bei 1) fest. Bis jetzt hatte ich das ganze umgestellt auf [mm] \bruch{x^{2}+bx+ax+ab}{\wurzel{(x+a)(x+b)}} [/mm] - x. aber damit kann ich doch noch nicht abschätzen oder?
Ich würde mich über eure Hilfe sehr freuen.
LG Puppet
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Hallo,
> Bestimmen Sie die Grenzwerte:
>
> 1) [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty} \wurzel{(x+a)(x+b)}-x[/mm] (a,b)[mm]\in \IR[/mm]
>
> 2) [mm]\limes_{x\rightarrow0} x^{2} \lfloor1/x\rfloor, \lfloor*\rfloor[/mm]
> ist hier die Floor Funktion
> Hallo Matheraum,
>
> Stecke bei 1) fest. Bis jetzt hatte ich das ganze
> umgestellt auf [mm]\bruch{x^{2}+bx+ax+ab}{\wurzel{(x+a)(x+b)}}[/mm] - x. aber damit kann ich doch noch nicht abschätzen oder?
Das ist m.E. nicht nötig und nicht so hilfreich (kann mich da aber auch täuschen)
Kann man das nicht recht direkt ablesen?
Ich meine: [mm] $\sqrt{(x+a)(x+b)}-x=\sqrt{x^2+(a+b)x+ab}-x$
[/mm]
Nun kannst du "sehen", dass für [mm] $x\to -\infty$ [/mm] die Wurzel gegen [mm] $+\infty$ [/mm] strebt; das $-x$ hinten dran ebenso, insgesamt strebt das dann gegen [mm] $\infty+\infty=\infty$
[/mm]
Rechnerisch kannst du unter der Wurzel mal [mm] $x^2$ [/mm] ausklammern und es rausziehen.
Aber das musst du genau(!) machen ,-)
>
> Ich würde mich über eure Hilfe sehr freuen.
>
> LG Puppet
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:58 Do 12.12.2013 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo schachu,
> Hallo,
>
>
> > Bestimmen Sie die Grenzwerte:
> >
> > 1) [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty} \wurzel{(x+a)(x+b)}-x[/mm]
> (a,b)[mm]\in \IR[/mm]
> >
> > 2) [mm]\limes_{x\rightarrow0} x^{2} \lfloor1/x\rfloor, \lfloor*\rfloor[/mm]
>
> > ist hier die Floor Funktion
> > Hallo Matheraum,
> >
> > Stecke bei 1) fest. Bis jetzt hatte ich das ganze
> > umgestellt auf
> [mm]\bruch{x^{2}+bx+ax+ab}{\wurzel{(x+a)(x+b)}}[/mm] - x. aber damit
> kann ich doch noch nicht abschätzen oder?
>
> Das ist m.E. nicht nötig und nicht so hilfreich (kann mich
> da aber auch täuschen)
>
> Kann man das nicht recht direkt ablesen?
>
> Ich meine: [mm]\sqrt{(x+a)(x+b)}-x=\sqrt{x^2+(a+b)x+ab}-x[/mm]
>
> Nun kannst du "sehen", dass für [mm]x\to -\infty[/mm] die Wurzel
> gegen [mm]+\infty[/mm] strebt; das [mm]-x[/mm] hinten dran ebenso, insgesamt
> strebt das dann gegen [mm]\infty+\infty=\infty[/mm]
Ich glaube man sollte hier noch den Fall a=b=0 betrachten. Und vielleicht noch mehr, falls dies nicht der einziger pathologische Fall ist...
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Hi Richie,
> Hallo schachu,
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> > Hallo,
> >
> >
> > > Bestimmen Sie die Grenzwerte:
> > >
> > > 1) [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty} \wurzel{(x+a)(x+b)}-x[/mm]
> > (a,b)[mm]\in \IR[/mm]
> > >
> > > 2) [mm]\limes_{x\rightarrow0} x^{2} \lfloor1/x\rfloor, \lfloor*\rfloor[/mm]
>
> >
> > > ist hier die Floor Funktion
> > > Hallo Matheraum,
> > >
> > > Stecke bei 1) fest. Bis jetzt hatte ich das ganze
> > > umgestellt auf
> > [mm]\bruch{x^{2}+bx+ax+ab}{\wurzel{(x+a)(x+b)}}[/mm] - x. aber damit
> > kann ich doch noch nicht abschätzen oder?
> >
> > Das ist m.E. nicht nötig und nicht so hilfreich (kann mich
> > da aber auch täuschen)
> >
> > Kann man das nicht recht direkt ablesen?
> >
> > Ich meine: [mm]\sqrt{(x+a)(x+b)}-x=\sqrt{x^2+(a+b)x+ab}-x[/mm]
> >
> > Nun kannst du "sehen", dass für [mm]x\to -\infty[/mm] die Wurzel
> > gegen [mm]+\infty[/mm] strebt; das [mm]-x[/mm] hinten dran ebenso, insgesamt
> > strebt das dann gegen [mm]\infty+\infty=\infty[/mm]
> Ich glaube man sollte hier noch den Fall a=b=0 betrachten.
> Und vielleicht noch mehr, falls dies nicht der einziger
> pathologische Fall ist...
Hmm, das ergäbe $|x|-x$, und da wir mit [mm] $x\to-\infty$ [/mm] gehen, können wir $x<0$ annehmen, also $|x|-x=-2x$
Und das strebt für [mm] $x\to-\infty$ [/mm] immer noch gegen [mm] $+\infty$
[/mm]
Mir fällt auf die Schnelle kein pathologischer Fall ein, da das [mm] $x^2$ [/mm] unter der Wurzel dominiert ...
Was meinst du?
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:09 Do 12.12.2013 | | Autor: | Richie1401 |
Sag mal schachu, was soll denn das?  Also ich habe wohl heute absolut Tomaten auf den Augen. Hier in Leipzig ist gerade gigantischer Nebel und offensichtlich hat sich etwas in meiner Birne festgesetzt.
Du hast natürlich Recht und ich war (mal wieder) zu voreilig. Am besten ich ziehe mich für heute zurück und überlasse euch das Revier.
Schönen verbleibenden Donnerstag wünsch' ich dir!
Liebe Grüße aus (Nebel)-Leipzig
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Nana,
alles wir gut
Hier in Köln ist eitel Sonnenschein. Aber es ist leider auch ziemlich kalt ....
Ein bisschen mathem. Diskussion ist doch immer nett.
Es geht ja nicht ums Recht-Haben.
Was meinst du, wie oft ich betriebsblind bin oder noch schlimmer?
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Do 12.12.2013 | | Autor: | Puppet |
Danke euch für die Hilfe.
[mm] \wurzel{x^{2}+(a+b)x+ab} [/mm] - x = [mm] \wurzel{x^{2}} [/mm] * [mm] \wurzel{1 + (a+b)\bruch{1}{x} + \bruch{ab}{x^{2}}} [/mm] - x
Aus [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} [/mm] folgt dann [mm] \wurzel{x^{2}} [/mm] * [mm] \wurzel{1} [/mm] - x
und dann muss dann ja gegen unendlich gehen oder?
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Hallo nochmal,
> Danke euch für die Hilfe.
>
> [mm]\wurzel{x^{2}+(a+b)x+ab}[/mm] - x = [mm]\wurzel{x^{2}}[/mm] * [mm]\wurzel{1 + (a+b)\bruch{1}{x} + \bruch{ab}{x^{2}}}[/mm] - x ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Aus [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty}[/mm] folgt dann [mm]\wurzel{x^{2}}[/mm] * [mm]\wurzel{1}[/mm] - x
Was soll das bedeuten? Du kannst nicht bei einigen Termen den Grenzwert bilden, bei anderen nicht ...
Vereinfache zunächst weiter ...
Was ist [mm] $\sqrt{x^2}$?
[/mm]
Dann $x$ ausklammern ...
>
> und dann muss dann ja gegen unendlich gehen oder?
Am Ende ja!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Do 12.12.2013 | | Autor: | Puppet |
Ok
$ [mm] \wurzel{x^{2}+(a+b)x+ab} [/mm] $ - x = $ [mm] \wurzel{x^{2}} [/mm] $ * $ [mm] \wurzel{1 + (a+b)\bruch{1}{x} + \bruch{ab}{x^{2}}} [/mm] $ - x = |x| * $ [mm] \wurzel{1 + (a+b)\bruch{1}{x} + \bruch{ab}{x^{2}}} [/mm] $ - x = |x| * ($ [mm] \wurzel{1 + (a+b)\bruch{1}{x} + \bruch{ab}{x^{2}}} [/mm] $ - [mm] \bruch{x}{|x|}) [/mm]
Somit ist $ [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} [/mm] $ |x| * ($ [mm] \wurzel{1 + (a+b)\bruch{1}{x} + \bruch{ab}{x^{2}}} [/mm] $ - $ [mm] \bruch{x}{|x|}) [/mm] $ = [mm] \infty [/mm] * [mm] \wurzel{1} [/mm] + 1) = [mm] 2\infty [/mm] = [mm] \infty.
[/mm]
So besser?
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Hallo nochmal,
> Ok
>
> [mm]\wurzel{x^{2}+(a+b)x+ab}[/mm] - x = [mm]\wurzel{x^{2}}[/mm] * [mm]\wurzel{1 + (a+b)\bruch{1}{x} + \bruch{ab}{x^{2}}}[/mm] - x
> = |x| * [mm]\wurzel{1 + (a+b)\bruch{1}{x} + \bruch{ab}{x^{2}}}[/mm] - x
> = |x| * ([mm] \wurzel{1 + (a+b)\bruch{1}{x} + \bruch{ab}{x^{2}}}[/mm]- [mm]\bruch{x}{|x|})[/mm]
>
> Somit ist [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty}[/mm] |x| * ([mm] \wurzel{1 + (a+b)\bruch{1}{x} + \bruch{ab}{x^{2}}}[/mm] - [mm]\bruch{x}{|x|})[/mm] = [mm]\infty[/mm] *( [mm]\wurzel{1}[/mm] + 1) = [mm]2\infty[/mm] =[mm]\infty.[/mm]
>
> So besser?
Ja, so stimmt es!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Do 12.12.2013 | | Autor: | Puppet |
Vielen Dank für deine Hilfe,
ich merke aber gerade das ich mich vertan habe. Es sollte [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] sein und nicht [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}. [/mm] Kann ich das dann so lassen und dann einfach $ [mm] \infty [/mm] $ *( $ [mm] \wurzel{1} [/mm] $ - 1) = 0 schreiben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:51 Do 12.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank für deine Hilfe,
>
> ich merke aber gerade das ich mich vertan habe. Es sollte
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] sein und nicht
> [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty}.[/mm] Kann ich das dann so lassen
nein!
> und dann einfach [mm]\infty[/mm] *( [mm]\wurzel{1}[/mm] - 1) = 0 schreiben?
Nein! Bspw. wäre
$n*1/n=1 [mm] \to [/mm] 1$
und
[mm] $n^2*1/n=n \to \infty$
[/mm]
und
[mm] $n*1/n^2=1/n \to 0\,.$
[/mm]
Der "Fall [mm] $\infty*0$" [/mm] kann also alles mögliche ergeben (man kann auch eine
divergente Folge basteln: [mm] $n*((-1)^n/n)=(-1)^n\,$...).
[/mm]
Tipp (ähnliches hast Du gemacht, aber ich glaube, dass Deine Umformung
hier nicht funktioniert, sondern eine kleine Variation dessen es tut):
[mm] $\wurzel{(x+a)(x+b)}-x=\frac{(x+a)(x+b)-x^2}{\sqrt{(x+a)(x+b)}\red{\;+\;}x}$
[/mm]
Natürlich jetzt mal weiterrechnen (im Zähler ausmultiplizieren, dann hebt
sich dort das [mm] $x^2$ [/mm] weg etc. pp.)!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Do 12.12.2013 | | Autor: | Puppet |
OK.
$ [mm] \wurzel{(x+a)(x+b)}-x=\frac{(x+a)(x+b)-x^2}{\sqrt{(x+a)(x+b)}\red{\;+\;}x} [/mm] $ = [mm] \bruch{(x^{2}+ax+xb+ab) - x^{2}}{\wurzel{x^{2}+ax+bx+ab}+x} [/mm] = [mm] \bruch{x^{2} * (1+a\bruch{1}{x}+b\bruch{1}{x}+\bruch{ab}{x}-1)}{\wurzel{x^{2}+ax+bx+ab} + x} [/mm] = [mm] \bruch{1+a\bruch{1}{x}+b\bruch{1}{x}+\bruch{ab}{x}-1}{\bruch{\wurzel{x^{2}+ax+bx+ab}}{x^{2}}+\bruch{1}{x}} [/mm] = [mm] \bruch{1+a\bruch{1}{x}+b\bruch{1}{x}+\bruch{ab}{x}-1}{\bruch{|x| * \wurzel{1 + (a+b)\bruch{1}{x} + \bruch{ab}{x^{2}}} }{x^{2}}+\bruch{1}{x}} [/mm] = $ [mm] \bruch{1+a\bruch{1}{x}+b\bruch{1}{x}+\bruch{ab}{x}-1}{\bruch{\bruch{1}{x} \cdot{} \wurzel{1 + (a+b)\bruch{1}{x} + \bruch{ab}{x^{2}}} }{1}+\bruch{1}{x}} [/mm] $
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] $ [mm] \bruch{1+a\bruch{1}{x}+b\bruch{1}{x}+\bruch{ab}{x}-1}{\bruch{\bruch{1}{x} \cdot{} \wurzel{1 + (a+b)\bruch{1}{x} + \bruch{ab}{x^{2}}} }{1}+\bruch{1}{x}} [/mm] $ = [mm] \bruch{1-1}{0 + 0} [/mm] = 0.
Ist das so OK?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Do 12.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> OK.
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> [mm]\wurzel{(x+a)(x+b)}-x=\frac{(x+a)(x+b)-x^2}{\sqrt{(x+a)(x+b)}\red{\;+\;}x}[/mm]
> = [mm]\bruch{(x^{2}+ax+xb+ab) - x^{2}}{\wurzel{x^{2}+ax+bx+ab}+x}[/mm]
> = [mm]\bruch{x^{2} * (1+a\bruch{1}{x}+b\bruch{1}{x}+\bruch{ab}{x}-1)}{\wurzel{x^{2}+ax+bx+ab} + x}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{1+a\bruch{1}{x}+b\bruch{1}{x}+\bruch{ab}{x}-1}{\bruch{\wurzel{x^{2}+ax+bx+ab}}{x^{2}}+\bruch{1}{x}}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{1+a\bruch{1}{x}+b\bruch{1}{x}+\bruch{ab}{x}-1}{\bruch{|x| * \wurzel{1 + (a+b)\bruch{1}{x} + \bruch{ab}{x^{2}}} }{x^{2}}+\bruch{1}{x}}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{1+a\bruch{1}{x}+b\bruch{1}{x}+\bruch{ab}{x}-1}{\bruch{\bruch{1}{x} \cdot{} \wurzel{1 + (a+b)\bruch{1}{x} + \bruch{ab}{x^{2}}} }{1}+\bruch{1}{x}}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm]
> [mm]\bruch{1+a\bruch{1}{x}+b\bruch{1}{x}+\bruch{ab}{x}-1}{\bruch{\bruch{1}{x} \cdot{} \wurzel{1 + (a+b)\bruch{1}{x} + \bruch{ab}{x^{2}}} }{1}+\bruch{1}{x}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1-1}{0 + 0}[/mm] = 0.
nein - sobald da irgendwo [mm] $0/0\,$ [/mm] steht, muss es doch irgendwo falsch geworden
sein (bei "sinnvollen" Aufgaben). Und keinesfalls ist einfach [mm] $0/0=0\,.$
[/mm]
Zur Korrektur:
Ich habe doch gesagt, dass im Zähler [mm] $x^2\,$ [/mm] sich weghebt, das heißt, dort
steht irgendwo [mm] $x^2-x^2\,,$ [/mm] was nichts anderes als [mm] $0\,$ [/mm] ist.
Also:
[mm] $...=\bruch{(x^{2}+ax+xb+ab)-x^{2}}{\wurzel{x^{2}+ax+bx+ab}+x}=\bruch{(a+b)*x+ab}{\wurzel{x^{2}+ax+bx+ab}+x}=\frac{a+b+\frac{ab}{x}}{\frac{\wurzel{x^{2}+ax+bx+ab}+x}{x}}=...$ [/mm]
Wenn Du das richtig zu Ende rechnest, sollte am Ende
[mm] $\lim_{\red{x}\; \to \infty}...=\frac{a+b}{\sqrt{1}+1}=\frac{a+b}{2}$
[/mm]
rauskommen!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:14 Do 12.12.2013 | | Autor: | Puppet |
Aber mir fällt gerade ein das [mm] \bruch{0}{0} [/mm] nicht definiert ist :-(
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:29 Do 12.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Aber mir fällt gerade ein das [mm]\bruch{0}{0}[/mm] nicht definiert
> ist :-(
ja, und auch nicht ohne Grund. Such mal selbst Deinen Fehler:
Z.B. kannst Du ja nicht einfach
[mm] $1=\lim_{0 < x \to 0}1=\lim_{0 < x \to 0} \frac{x}{x}\red{\;=\;}\frac{\lim\limits_{0 < x \to 0} x}{\lim\limits_{0 < x \to 0} x}=\frac{0}{0}$
[/mm]
schreiben! Wie man Deine Aufgabe "richtig" weiterrechnet, habe ich mal
angedeutet!
Gruß,
Marcel
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![[]](http://blog.stuttgarter-zeitung.de/wp-content/nebel-without-a-cause.jpg){kind=small}
Nebel ? Was ist das ?