Grenzwert brechnung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:45 Mi 18.01.2006 | | Autor: | AriR |
(Frage zuvor nicht gestellt)
Hey Leute, wenn ich
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] n * log(1+ [mm] \bruchg{x}{n}) [/mm] für x [mm] \in \IR [/mm]
betrachte, warum kann man nicht einfach sagen der grenzwert des gesammten "teils" ist der grenzwert von n multipliziert mit dem grenzwert von log(1+ [mm] \bruchg{x}{n}) [/mm] für n [mm] \to \infty. [/mm] Dann hat man da sozusagen stehen als grenzwert: [mm] "\infty [/mm] * log(1+0)" da [mm] \bruch{x}{n} [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm] immer gegen 0 geht und bekommt somit am ende raus [mm] "\infty [/mm] * 0 = 0" also ist der grenzwert 0 ?? ich weiß wohl, dass das da was anderes rauskommt, nur wo liegt jetzt der fehler in meinen überlegungen?
wäre nett wenn einer lust hat sich das mal durchzugucken.... gruß ari
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:52 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Die Grenzwertsätze gelten nur dann, wenn die Grenzwerte reelle Zahlen (und nicht etwa $+ [mm] \infty$ [/mm] oder [mm] $-\infty$) [/mm] sind.
Sonst müsste ja auch:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} [/mm] n = [mm] \left(\lim\limits_{n \to \infty} n^2\right) \cdot \left(\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} \right) [/mm] = [mm] \infty \cdot [/mm] 0 = 0$
gelten, was aber offenbar falsch ist.
Zu deinem Beispiel:
Mit $f(x) = [mm] \log(x)$ [/mm] ist
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \left[ n \cdot \log \left( 1 + \frac{x}{n} \right) \right] [/mm] = [mm] \lim\limits_{n \to \infty} \frac{ \log \left( 1 + \frac{x}{n} \right) - \log(1)}{\frac{1}{n}} [/mm] = f'(1) = 1$.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Mi 18.01.2006 | | Autor: | AriR |
jo vielen dank schonmal... also lag mein feherl darin, dass ich die grenzwertsätze angewendet habe auf folgen die nicht als konvergent gegeben waren oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo ARiR!
Genauso ist es. 
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Mi 18.01.2006 | | Autor: | AriR |
da wäre vieleicht noch ne kleinigkeit :)
wenn ich
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (1+ [mm] \bruch{x}{n})^n [/mm] betrechte, warum kann man denn da nicht einfach sagen:
Insgesammt geht 1 + [mm] \bruch{x}{n} [/mm] gegen 1 und [mm] 1^n [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm] = 1
also : [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (1+ [mm] \bruch{x}{n})^n [/mm] = 1
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Hallo Ari!
Das ist aber keine Kleinigkeit ...
> also : [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (1+ [mm]\bruch{x}{n})^n[/mm] = 1
Das kann man nicht sagen, weil es schlicht und ergreifend nicht stimmt!
Man kann nämlich zeigen, dass [mm]a_n \ = \ \left(1+ \bruch{x}{n}\right)^n[/mm] eine monoton steigende Folge ist.
Und schon mit dem ersten Glied [mm]a_1 \ = \ \left(1+ \bruch{x}{1}\right)^1 \ = \ 1+x[/mm] bist Du bei positivem $x_$ mit Deiner Behauptung gescheitert.
Gruß vom
Roadrunner
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