Grenzwert der komplexen Reihe < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:55 So 27.05.2012 | | Autor: | wu-shu |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die folgenden Reihen konvergieren und bestimmen Sie den Wert der
jeweiligen Reihe:
[mm] (\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{3+4i}{6})^{n}) [/mm] und [mm] i^{2} [/mm] = -1 |
Hallo zusammen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Der Grenzwert der Reihe ist gesucht, jedoch weiß ich nicht wie ich ansetzen soll. Mit der Formel für den Grenzwert
[mm] \bruch{1-q^{n+1}}{1-q}
[/mm]
komme ich auf
[mm] \bruch{1-(\bruch{3+4i}{6})^{n+1}}{1-(\bruch{3+4i}{6})}
[/mm]
wobei ich mir nicht sicher bin ob ich die Formel für diese Aufgabe benutzen darf. In der Formelsammlung steht was von Summe für n = 0 bis unendlich und nicht wie in der Aufgabe von n = 1. Gibt es für n = 1 eventuell eine andere Formel? Und wie gehe ich weiter vor um den Grenzwert bestimmen zu können?
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Hallo wu-shu und erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Zeigen Sie, dass die folgenden Reihen konvergieren und
> bestimmen Sie den Wert der
> jeweiligen Reihe:
>
> [mm](\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{3+4i}{6})^{n})[/mm] und [mm]i^{2}[/mm] =
> -1
> Hallo zusammen!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Der Grenzwert der Reihe ist gesucht, jedoch weiß ich
> nicht wie ich ansetzen soll. Mit der Formel für den
> Grenzwert
>
> [mm]\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm]
Das ist die Formel für die endliche geometr. Reihe, von $k=0$ bis $k=n$
Hier hast du eine unendliche Reihe, beachte: [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}q^n=\frac{1}{1-q}$ [/mm] für $|q|<1$
Obacht! Bei der Formel geht es bei $n=0$ los, bei dir bei $n=1$, den ersten Summanden musst du also noch abziehen ...
Ist bei dir $|q|<1$?
Was ergibt sich als Reihenwert?
>
> komme ich auf
>
> [mm]\bruch{1-(\bruch{3+4i}{6})^{n+1}}{1-(\bruch{3+4i}{6})}[/mm]
>
> wobei ich mir nicht sicher bin ob ich die Formel für diese
> Aufgabe benutzen darf. In der Formelsammlung steht was von
> Summe für n = 0 bis unendlich und nicht wie in der Aufgabe
> von n = 1. Gibt es für n = 1 eventuell eine andere Formel?
> Und wie gehe ich weiter vor um den Grenzwert bestimmen zu
> können?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Mo 28.05.2012 | | Autor: | wu-shu |
Danke für die schnelle Antwort!
Also |q| ist kleiner als 1. Genauer gesagt [mm] \bruch{5}{6}. [/mm] D. h. ich darf die Formel [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] benutzen.
Nun habe ich folgendes gerechnet:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{3+4i}{6})^{n} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{3+4i}{6})^{n} [/mm] - 1 = [mm] \bruch{1}{1-\bruch{3+4i}{6}} [/mm] - 1 = ... = [mm] -\bruch{7}{25} [/mm] + [mm] \bruch{24}{25}i
[/mm]
Kann jemand das Ergebnis bestätigen?
Ich habe mittlerweile die Lösungen von der Hochschule bekommen und da steht als Ergebnis [mm] \bruch{18}{25} [/mm] + [mm] \bruch{24}{25}i [/mm] drin. Das kommt raus wenn man die Formel benutzt, ohne die "1" abzuziehen. Ich kopiere mal den Lösungsvorschlag, den ich nicht verstehe. Hoffentlich kann mir den jemand erklären.
Zitat:
Hier liegt eine geometrische Reihe vor, eben mit komplexen Zahlen. Nach dem
Wurzelkriterium konvergiert diese (wegen des kleineren Betrages im Zähler). Damit
erhalten wir
[mm] (\summe_{k=1}^{n}(\bruch{3+4i}{6})^{k})=\bruch{1-(\bruch{3+4i}{6})^{n+1}}{1-\bruch{3+4i}{6}}
[/mm]
In der Exponentialform sehen wir leicht, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{3+4i}{6})^{n}=0 [/mm] ist und daher der Grenzwert
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1-(\bruch{3+4i}{6})^{n+1}}{6-3-4i}*6=\bruch{1}{6-3-4i}*6=\bruch{6}{4-4i}*\bruch{3+4i}{3+4i}=\bruch{18}{25}+\bruch{24}{25}i
[/mm]
ist.
Welches Ergebnis ist nun falsch? Und wie sehen wir leicht, dass der Limes = 0 ist?
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Hallo wu-shu,
> Danke für die schnelle Antwort!
> Also |q| ist kleiner als 1. Genauer gesagt [mm]\bruch{5}{6}.[/mm]
> D. h. ich darf die Formel [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm] benutzen.
> Nun habe ich folgendes gerechnet:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{3+4i}{6})^{n}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{3+4i}{6})^{n}[/mm] - 1 =
> [mm]\bruch{1}{1-\bruch{3+4i}{6}}[/mm] - 1 = ... = [mm]-\bruch{7}{25}[/mm] +
> [mm]\bruch{24}{25}i[/mm]
>
Das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Kann jemand das Ergebnis bestätigen?
> Ich habe mittlerweile die Lösungen von der Hochschule
> bekommen und da steht als Ergebnis [mm]\bruch{18}{25}[/mm] +
> [mm]\bruch{24}{25}i[/mm] drin. Das kommt raus wenn man die Formel
> benutzt, ohne die "1" abzuziehen. Ich kopiere mal den
> Lösungsvorschlag, den ich nicht verstehe. Hoffentlich kann
> mir den jemand erklären.
>
> Zitat:
> Hier liegt eine geometrische Reihe vor, eben mit komplexen
> Zahlen. Nach dem
> Wurzelkriterium konvergiert diese (wegen des kleineren
> Betrages im Zähler). Damit
> erhalten wir
>
> [mm](\summe_{k=1}^{n}(\bruch{3+4i}{6})^{k})=\bruch{1-(\bruch{3+4i}{6})^{n+1}}{1-\bruch{3+4i}{6}}[/mm]
>
> In der Exponentialform sehen wir leicht, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{3+4i}{6})^{n}=0[/mm] ist und
> daher der Grenzwert
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1-(\bruch{3+4i}{6})^{n+1}}{6-3-4i}*6=\bruch{1}{6-3-4i}*6=\bruch{6}{4-4i}*\bruch{3+4i}{3+4i}=\bruch{18}{25}+\bruch{24}{25}i[/mm]
>
> ist.
>
>
> Welches Ergebnis ist nun falsch? Und wie sehen wir leicht,
Das letztere Ergebnis stimmt nicht,
da von der geometrischen Reihe,die bei 0 beginnt,
ausgegangen wurde.
> dass der Limes = 0 ist?
Das sieht man daran, daß der Betrag der komplexen Zahl kleiner 1 ist.
Gruss
MathePower
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