Grenzwert durch Rekursion < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:57 Do 17.11.2011 | | Autor: | enes.g |
| Aufgabe | Die Folge [mm] (a_n) [/mm] sei rekursiv definiert durch
[mm] a_0 [/mm] = 1, [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \wurzel{1+a_n}
[/mm]
1.) Zeigen Sie, dass [mm] (a_n) [/mm] monoton wächst und 2 als obere Schranke hat.
2.) Zeigen Sie, dass [mm] (a_n) [/mm] konvergiert und berechnen Sie mithilfe der Rekursionsformel den Grenzwert. |
Liebe Community,
bei dieser Aufgabe komme ich auf keine Lösung. Wer kann mir weiterhelfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo enes.g,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
In diesem Forum ist es üblich, das Fragensteller wenigstens ihre eigenen Ansätze posten. Bitte beachte dies in Zukunft.
> Die Folge [mm](a_n)[/mm] sei rekursiv definiert durch
> [mm]a_0[/mm] = 1, [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\wurzel{1+a_n}[/mm]
>
> 1.) Zeigen Sie, dass [mm](a_n)[/mm] monoton wächst und 2 als obere
> Schranke hat.
Das kannst du mit Induktion beweisen.
> 2.) Zeigen Sie, dass [mm](a_n)[/mm] konvergiert und berechnen Sie
> mithilfe der Rekursionsformel den Grenzwert.
Aus 1) folgt, dass die Folge monoton wachsend und nach oben beschränkt ist. Damit folgt bereits die Konvergenz.
Für den Grenzwert a muss gelten:
[mm] a=\sqrt{1+a}
[/mm]
LG
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