Grenzwert einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:42 Fr 06.01.2006 | | Autor: | Timowob |
| Aufgabe | Bestimmen Sie nachvollziehbar den Grenzwert der Folge x = [mm] (x_n) [/mm] mit
[mm] x_{n}:=\bruch{1-e^\bruch{1}{n}}{1-\bruch{1}{n}} [/mm] * [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{2^k} [/mm] |
Hallo, ich habe folgende Lösung zu der Aufgabe erarbeitet:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 1/n=0
weil [mm] e^\bruch{1}{n} [/mm] = [mm] e^0 [/mm] = 1
folgt:
[mm] \bruch{1-1}{1-0} [/mm] * [mm] \summe_{k=1}^{n}1/k^2
[/mm]
= 0 * [mm] \summe_{k=1}^{n}1/k^2 [/mm] = 0
Denkt Ihr, die Lösung ist richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:47 Fr 06.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Lautet die Reihe rechts nun [mm] $\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{2^k}$ [/mm] oder [mm] $\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$??
[/mm]
Naja, egal, in beiden Fällen konvergiert sie und der Grenzwert insgesamt ist $0$, wie du ja auch schreibst.
Sollt ihr vielleicht formal die verwendeten Grenzwertsätze anführen?
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 Fr 06.01.2006 | | Autor: | Timowob |
Hallo Julius,
vielen Dank für die Antwort. Es ist schön, daß ich auch mal ein Erfolgserlebnis habe 
Wie meinst Du formal die verwendeten Grenzwerte anführen?
Liebe Grüße
Timo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:54 Fr 06.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Timo!
Super formal machst Du es, wenn Du den Reihenwert bzw. dessen konkreten Grenzwert auch benennst.
Für die geometrische Reihe kennst Du ja die Formel  ...
Gruß
Loddar
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Hallo,
du musst bei Grenzwertbetrachtungen dieser Form ausschließen, dass ein Faktor nicht konvergiert. Der erste konvergiert, das hast du ja geschrieben. Der zweite ist für [mm] n\to\infty [/mm] die geometrische Reihe, deren Grenzwert so beschrieben wird:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}z^{k}=\bruch{1}{1-z}
[/mm]
für |z|<1! Und das ist ja bei dir der Fall (Potenzgesetz anwenden!)
Viele Grüße
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:52 Fr 06.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Timo!
Schreibe auf jeden Fall noch dazu, dass dies gilt, weil der Reihenwert existiert, sprich: die Reihe (welche von den beiden nun auch) konvergiert:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}{a_k} [/mm] \ < \ [mm] \infty$
[/mm]
Denn nur dann gilt auch: [mm] $0*\summe{\text{bla}} [/mm] \ = \ 0$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:58 Fr 06.01.2006 | | Autor: | Timowob |
super, vielen Dank!
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