Grenzwert einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:05 So 14.05.2006 | | Autor: | belgarda |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Grenzwerte der angegebenen Folge:
(1- [mm] \bruch{5}{n})^{n} [/mm] |
Hallo, ich muss den Grenzwert der o.g. Folge bestimmen. Es gibt ja den Satz/die Regel, dass für Folgen der Art (1- [mm] \bruch{a}{n})^{n} [/mm] der Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} e^{a} [/mm] ist. Das bedeutet ja dann für meine Aufgabe, dass die Lösung der Grenzwert [mm] e^{-5} [/mm] wäre. Mein Problem ist jetzt noch die Begründung. Kennt vielleicht jemand die allgemeine Begründung/Beweis für den obigen Satz aus einem Buch oder so? Ich würde den Beweis dann halt auf die konkrete Folge anwenden und umschreiben? Darf man das so schlussfolgern???
Danke für eure Antworten.
Ich habe diese Frage in kein anderes Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:52 Mi 17.05.2006 | | Autor: | belgarda |
Hallo, hab die Fälligkeit des Artikels nochmal geändert, kann mir vielleicht doch jemand auf meine Frage antworten???
LG BELGARDA
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Hallo belgarda!
> Es gibt ja den Satz/die Regel, dass für Folgen der Art [mm](1-\bruch{a}{n})^{n}[/mm]
> der Grenzwert [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} e^{a}[/mm] ist.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Die entsprechende Folge lautet [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1 \ \red{+} \ \bruch{a}{n}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \exp(a) [/mm] \ = \ [mm] e^a$
[/mm]
Forme diese Folgenvorschrift um zu: [mm] $\left(1+\bruch{a}{n}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] e^{n*\ln\left(1+\bruch{a}{n}\right)}$
[/mm]
Aufgrund der Stetigkeit der [mm] $\exp$-Funktion [/mm] gilt:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{a}{n}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}e^{n*\ln\left(1+\bruch{a}{n}\right)} [/mm] \ = \ [mm] e^{\limes_{n\rightarrow\infty}\left[n*\ln\left(1+\bruch{a}{n}\right)\right]}$
[/mm]
Es reicht also aus, folgenden Grenzwert zu betrachten:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left[n*\ln\left(1+\bruch{a}{n}\right)\right] [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left[n*\ln\left(\bruch{n+a}{n}\right)\right]\ [/mm] = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\ln(n+a)-\ln(n)}{\bruch{1}{n}}$
[/mm]
Da es sich hier um den unbestimmten Fall [mm] "$\bruch{0}{0}$" [/mm] handelt, darfst Du hier den  Grenzwertsatz nach de l'Hospital anwenden.
Dieser sollte dann als Grenzwert liefern: $a_$ und damit für den Gesamtgrenzwert [mm] $e^a$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:29 Do 18.05.2006 | | Autor: | belgarda |
| Aufgabe | | Die Regel lautet ja: für [mm] (1+\bruch{a}{n})^{n} [/mm] ist der Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} e^{a}. [/mm] |
Da meine Folge ja genau nach dem gleichen Muster aufbegaut ist, halt "nur" statt dem + aus der Vorschrift da ein - steht, hatte ich gehofft, dies übertragen zu können, wobei ich als Grenzwert halt [mm] e^{-5} [/mm] rausbekommen hätte. Diese Überlegung ist wahrscheinlich falsch???
Zudem hat unser Prof. gesagt, dass es ihm darauf ankommt, dass wir die Lösung der Antwort sauber begründen.
OK. Deshalb werd ich jetzt mit deiner Lösung weiterarbeiten, bin mir aber nicht so wirklich im klaren, was nach L´Hospital jetzt hier als f(x) und g(x) bzw. g'(x) einsetze.
Wäre super, wenn ihr mir da noch mal helfen könntet.
Dankeschön, belgarda!
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Guten Morgen belgarda!
> Da meine Folge ja genau nach dem gleichen Muster aufbegaut
> ist, halt "nur" statt dem + aus der Vorschrift da ein -
> steht, hatte ich gehofft, dies übertragen zu können, wobei
> ich als Grenzwert halt [mm]e^{-5}[/mm] rausbekommen hätte.
Deine Überlegung ist völlig richtig! Du hattest aber die Folge ganz oben mit dem falschen Vorzeichen angegeben.
Ansonsten liefert Dir $a \ = \ -5$ auch Dein gewünschtes Ergebnis [mm] $e^{-5}$ [/mm] .
> bin mir aber nicht so wirklich im klaren, was nach L´Hospital jetzt
> hier als f(x) und g(x) bzw. g'(x) einsetze.
Wir haben doch nun [mm] $\bruch{\ln(n+a)-\ln(n)}{\bruch{1}{n}}$ [/mm] .
Damit gilt auch: $f(n) \ := \ [mm] \ln(n+a)-\ln(n)$ [/mm] sowie $g(n) \ := \ [mm] \bruch{1}{n}$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:47 Do 18.05.2006 | | Autor: | belgarda |
| Aufgabe | | Anwendung der 1. Regel von L´Hospital: [mm] \limes_{c\rightarrow\infty}f(c)=\limes_{c\rightarrow\infty}g(c)=0 \Rightarrow\limes_{x\rightarrow c}\bruch{f(x)}{g(x)}=\limes_{x\rightarrow c}\bruch{f'(x)}{g'(x)} [/mm] |
Wenn ich das jetzt auf meine Aufgabe anwende und f(x) bzw. g(x) einsetze, also:
[mm] \limes_{c\rightarrow\infty} f(c)=\limes_{c\rightarrow\infty} [/mm] g(c)=0 [mm] \Rightarrow \limes_{x\rightarrow c}\bruch{\ln(n+a)-\ln(n)}{\bruch{1}{n}} [/mm] Wie erhalte ich dann f'(x) und g'(x):
Ist [mm] \limes_{x\rightarrow c}\bruch{f'(x)}{g'(x)} [/mm] die umgeformte Gleichung? Kann ich dann alles so umformen, dass am ende [mm] e^a [/mm] übrig bleibt? Wie muss ich begründen, dass ich für a auch -a einsetzen kann?
Sorry für die Formatierung, aber irgendwie krieg ichs nich anders hin.
Danke für deine Hilfe, Roadrunner
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Hallo belgarda!
Da ist aber einiges mit den Variablen bzw. Grenzwerten durcheinander geraten ...
[mm] $\limes_{x\rightarrow c}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow c}g(x) [/mm] \ = \ 0$ [mm] $\Rightarrow$ $\limes_{x\rightarrow c}\bruch{f(x)}{g(x)} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow c}\bruch{f'(x)}{g'(x)}$
[/mm]
In unserem Falle ist nun "$c \ = \ [mm] \infty$" [/mm] und $x \ = \ n$ .
Von daher gilt also:
[mm] $\limes_{n\rightarrow \infty}\bruch{\ln(n+a)-\ln(\blue{n})}{\bruch{1}{n}} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow \infty}\bruch{\left[ \ \ln(n+a)-\ln(\blue{n}) \ \right]'}{\left[ \ \bruch{1}{n} \ \right]'}$
[/mm]
Nun also Zähler und Nenner separat für sich ableiten und anschließend zusammenfassen.
Dann solltest Du irgendwann erhalten: $... \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow \infty}\left(a*\bruch{n}{n+a}\right) [/mm] \ = \ [mm] a*\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{n+a} [/mm] \ = \ ...$
> Wie muss ich begründen, dass ich für a auch -a einsetzen kann?
Gar nicht, schließlich haben wir das dann oben ohne Einschränkung für allgemeines, sprich: beliebiges $a_$ gezeigt.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 Do 18.05.2006 | | Autor: | belgarda |
Danke für deine Erklärungen, ich kann nur deiner Idee mit dem Ableiten nicht ganz folgen, da die Berechnung für den natürlichen Logarithmus (als Potenzreihe)ja lautet:
[mm] \ln(1+x) [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{\,x^k}{k} [/mm] = [mm] x-\frac{x^2}{2} [/mm] + [mm] \frac{x^3}{3} -\frac{x^4}{4} \pm \cdots
[/mm]
Dies muss ich doch im Zähler für ln(n+a) beachten-oder?
Wie soll ich damit dann weitermachen bzw. ableiten?
Die Ableitung vom Nenner |1/n| ist ja [mm] |-\bruch{1}{n^{2}}| [/mm] oder?
Ist es vielleicht in diesem Fall günstiger, diese Eigenschaft von e nachzuweisen:
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n [/mm] = e = [mm] \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}
[/mm]
Wenn ich für wie oben für a= 1 einsetze, und die Aussage beweise, darf man daraus dann auch für jedes beliebige a schlussfolgern?
Danke für deine schnellen Antworten!
LG belgarda
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Hallo belgarda!
> [mm]\ln(1+x)[/mm] = [mm]\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{\,x^k}{k}[/mm] = [mm]x-\frac{x^2}{2}[/mm] + [mm]\frac{x^3}{3} -\frac{x^4}{4} \pm \cdots[/mm]
>
> Dies muss ich doch im Zähler für ln(n+a) beachten-oder?
> Wie soll ich damit dann weitermachen bzw. ableiten?
Ui-ui-ui ... Das ist viiieeel zu kompliziert und mit Kanonen auf Spatzen schießen!
Kennst Du nicht die Ableitung des natürlichen Logarithmus?
[mm] $\left[ \ \ln(z) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{z}$
[/mm]
> Die Ableitung vom Nenner |1/n| ist ja [mm]|-\bruch{1}{n^{2}}|[/mm]
> oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau ...
> Wenn ich für wie oben für a= 1 einsetze, und die Aussage
> beweise, darf man daraus dann auch für jedes beliebige a
> schlussfolgern?
Nein, der Weg wäre falsch rum ... wir zeigen es doch gerade für beliebiges $a_$ und "erschlagen" damit auch den Spezialfall $a \ = \ 1$ !
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Do 18.05.2006 | | Autor: | belgarda |
Sorry, aber wie du sicher schon mehr als gemerkt hast, kenn ich mich mit Analysis gar nicht gut aus.
Demzufolge muss ich auch bei der Ableitung noch mal nachfragen:
Ist [ln(n+a)]' = [ln(a)]'+[ln(n)]' oder wie ist das bei ner Addition?
muss ich dann demzufolge auf jeden Summanden die Ableitung anwenden? [mm]\left[ \ \ln(z) \ \right]' \ =\ \bruch{1}{z}[/mm]
Wenn es richtig ist, dass im Nenner [mm] |-\bruch{1}{n^{2}}| [/mm] dies als Ableitung rauskommt, dann bekomm ich das Quadrat doch nicht weg, du hast ja geschrieben, ich muss auf
= [mm] \limes_{n\rightarrow \infty}\left(a\cdot{}\bruch{n}{n+a}\right) [/mm] bzw. [mm] \a\cdot{}\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{n+a} [/mm] = kommen. Hier ist ja kein Quadrat oder Wurzel oder so drin.
Wenn ich dann mit der Lösung weitermache, weiß ich auch nicht, wie ich sie auf e zurückführe. Am Ende brauch ich ja als Lösung [mm] e^{a}
[/mm]
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Hallo belgarda!
> Demzufolge muss ich auch bei der Ableitung noch mal
> nachfragen:
> Ist [ln(n+a)]' = [ln(a)]'+[ln(n)]' oder wie ist das bei
> ner Addition?
Nein, das ist (leider) völlig falsch.
Es gilt: [mm] $\left[ \ \ln(n+a) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{n+a}$
[/mm]
> Wenn es richtig ist, dass im Nenner [mm]|-\bruch{1}{n^{2}}|[/mm]
> dies als Ableitung rauskommt, dann bekomm ich das Quadrat
> doch nicht weg,
Das Quadrat kürzt sich infolge von weiteren Umformungen bzw. beim Zusammenfassen raus!
> Wenn ich dann mit der Lösung weitermache, weiß ich auch
> nicht, wie ich sie auf e zurückführe. Am Ende brauch ich ja
> als Lösung [mm]e^{a}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eigentlich suchen wir ja den Grenzwert $\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{a}{n}\right)^n \ = \ \limes_{n\rightarrow\infty}e^{n*\ln\left(1+\bruch{a}{n}\right)} \ = \ \red{e^{\limes_{n\rightarrow\infty}{n*\ln\left(1+\bruch{a}{n}\right)}}$ .
Und nun betrachten wir ja schon seit geraumer Zeit lediglich den Grenzwert im Exponenten $\limes_{n\rightarrow\infty}n*\ln\left(1+\bruch{1}{n}\right)$ .
Von daher sollte für diesen Grenzwert also der Wert $a_$ entstehen, damit das eingesetzt in die "rote Formel" den Gesamtwert $e^a$ ergibt.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Do 18.05.2006 | | Autor: | belgarda |
Danke für deine Hilfe, roadrunner!
[mm] $\limes_{n\rightarrow \infty}\bruch{\ln(n+a)-\ln(a)}{\bruch{1}{n}} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow \infty}\bruch{\left[ \ \ln(n+a)-\ln(a) \ \right]'}{\left[ \bruch{1}{n} \ \right]'}$ [/mm] nach deiner Hilfe mit den Ableitungen wäre das ja jetzt:
[mm] \limes_{n\rightarrow \infty}\bruch{ \bruch{1}{n+a}- \bruch{1}{n}}{\bruch{-1}{n^{2}}} [/mm] = (Will nur kurz sicher gehen, dass ich mit den richtigen Term vereinfache)
Jetzt im Zähler alles auf einen Hauptnenner usw...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Do 18.05.2006 | | Autor: | belgarda |
Hey, endlich mal ein Erfolgserlebnis Dank deiner 1000 nützlichen Tipps!Ich komm nämlich mit meinen Umformungen zu deinem Zwischenergebnis: [mm] n^{2} [/mm] kürzt sich ja wirklich raus und das negative Vorzweichen hebt sich auch auf!!!
OK. Jetzt hab ich also [mm] a\cdot{}\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{n+a} [/mm]
Jetzt muss man sicherlich zeigen, dass der Limes von [mm] \bruch{n}{n+a} [/mm] gegen Null geht um nur noch das a allein stehen zu lassen? (Sorry falls das ne Schnapsidee ist)
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Hallo belgarda!
> Jetzt muss man sicherlich zeigen, dass der Limes von
> [mm]\bruch{n}{n+a}[/mm] gegen Null geht um nur noch das a allein
> stehen zu lassen?
Na, aufgepasst! Dieser Grenzwert muss selbstverständlich gegen [mm] $\red{1}$ [/mm] gehen (macht er auch  ), da ja gilt: [mm] $a*\red{1} [/mm] \ = \ a$ .
Bei Deiner Variante hätten wir ja: $a*0 \ = \ 0$ !
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:09 Do 18.05.2006 | | Autor: | belgarda |
Ja klar... hast recht - hatte ich eigentlich auch gemeint.
Darf ich das so als Feststellung hinschreiben? Ist ja eigendlich offensichtlich, dass das ganze gegen 1 geht oder muss man das noch irgendwie belegen?
Tausend Dank für deine rießige Geduld, die schnellen Antworten und supernützliche Hilfe!!
LG belgarda
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![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
Hier hatte ich mich oben verschrieben / vertippt ... habe es inzwischen aber korrigiert.
