Grenzwert einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:46 Mo 01.12.2008 | | Autor: | stk66 |
| Aufgabe | Bestimme für n [mm] \to \infty [/mm] den Grenzwert
der Folge [mm] (a_{n})_{n \in \IN},a_{n}:=\bruch{7}{\wurzel{\bruch{n^{2}+5n}{n^{2}}}+\wurzel{\bruch{n^{2}-2n+3}{n^{2}}}} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Meine Lösung lautet [mm] \bruch{7}{2}. [/mm] Allerdings bin ich zu diesem Ergebnis durch Abschätzen gekommen. Die beiden Wurzeln im Nenner gehen gegen 1.
Meine Frage lautet, ob die Lösung richtig ist und ob es einen anderen formal richtigen Lösungsweg gibt, den ich verwenden kann. Irgendwie kommt mir die Aufgabe so,wie ich sie aufschreiben will, zu leicht vor.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:39 Mo 01.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimme für n [mm]\to \infty[/mm] den Grenzwert
>
> der Folge [mm](a_{n})_{n \in \IN},a_{n}:=\bruch{7}{\wurzel{\bruch{n^{2}+5n}{n^{2}}}+\wurzel{\bruch{n^{2}-2n+3}{n^{2}}}}[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Meine Lösung lautet [mm]\bruch{7}{2}.[/mm] Allerdings bin ich zu
> diesem Ergebnis durch Abschätzen gekommen. Die beiden
> Wurzeln im Nenner gehen gegen 1.
das ist keine Abschätzung, sondern eine Behauptung.
> Meine Frage lautet, ob die Lösung richtig ist und ob es
> einen anderen formal richtigen Lösungsweg gibt, den ich
> verwenden kann. Irgendwie kommt mir die Aufgabe so,wie ich
> sie aufschreiben will, zu leicht vor.
Das ist schon in Ordnung, Du mußt nur daran denken, die Begründungen in einer richtigen Reihenfolge zu liefern:
Zunächst gilt [mm] $\frac{n^2+5n}{n^2}=1+\frac{5}{n}\,,$ [/mm] so dass [mm] $\frac{n^2+5n}{n^2} \to [/mm] 1$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] (z.B. nach einer gewissen Rechenregeln für konvergente Folgen; welcher?)
Analog erkennst Du [mm] $\frac{n^2-2n+3}{n^2} \to [/mm] 1$ bei $n [mm] \to \infty\,.$
[/mm]
Bekanntlich gilt: $0 [mm] \le r_n \to [/mm] r$ [mm] $\Rightarrow$ $\sqrt{r_n} \to \sqrt{r}$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] (Stetigkeit der [mm] $\sqrt{\,}$-Funktion).
[/mm]
Daher (mit der Stetigkeit der Addition bzw. wegen [mm] '$a_n \to [/mm] a$ und [mm] $b_n \to [/mm] b$ [mm] $\Rightarrow$ $a_n +b_n \to [/mm] a+b$, jeweils bei $n [mm] \to \infty$'):
[/mm]
[mm] $\wurzel{\bruch{n^{2}+5n}{n^{2}}}+\wurzel{\bruch{n^{2}-2n+3}{n^{2}}} \to \sqrt{1}+\sqrt{1}=2$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
Mit der Regel
'$0 [mm] \not= b_n \to [/mm] b [mm] \not=0$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$ $\Rightarrow$ [/mm] Für eine Konstante [mm] $\,c\,$ [/mm] gilt: [mm] $\frac{c}{b_n} \to \frac{c}{b}$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$' [/mm]
folgt dann insgesamt die Behauptung.
So ausführlich schreibt man das natürlich (später) nicht mehr hin, sondern dann eher so:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{7}{\sqrt{\frac{n^2+5n}{n^2}}+\sqrt{\frac{n^2-2n+3}{n^2}}}\overset{(4)}{=}\frac{7}{\lim\limits_{n \to \infty} \left(\sqrt{\frac{n^2+5n}{n^2}}+\sqrt{\frac{n^2-2n+3}{n^2}}\right)}\overset{(3)}{=}\frac{7}{\lim\limits_{n \to \infty} \left(\sqrt{\frac{n^2+5n}{n^2}}\right)+\lim\limits_{n \to \infty}\left(\sqrt{\frac{n^2-2n+3}{n^2}}\right)}\overset{(2)}{=}\frac{7}{ \sqrt{\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n^2+5n}{n^2}}+\sqrt{\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n^2-2n+3}{n^2}}}\overset{(1)}{=}\frac{7}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}=\frac{7}{2}$
[/mm]
Am besten liest man das dann von rechts nach links und schreibt die einzelnen Begründungen dazu:
[mm] $\bullet$ [/mm] zu (1):
S.o.: [mm] $\frac{n^2+5n}{n^2} \to [/mm] 1$ und [mm] $\frac{n^2-2n+3}{n^2} \to [/mm] 1$ bei $n [mm] \to \infty$
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] zu (2):
Stetigkeit der [mm] $\sqrt{\,}$-Funktion
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] zu (3):
Stetigkeit der Addition [mm] $\IR \times \IR \to \IR$ [/mm] bzw. die Rechenregel: [mm] '$a_n \to [/mm] a$ und [mm] $b_n \to [/mm] b$ [mm] $\Rightarrow$ $a_n +b_n \to [/mm] a+b$, jeweils bei $n [mm] \to \infty$'
[/mm]
(Oder in Worten: Die Summe zweier konvergenter Folgen konvergiert gegen die Summe der Grenzwerte.)
[mm] $\bullet$ [/mm] zu (4):
'$0 [mm] \not= b_n \to [/mm] b [mm] \not=0$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$ $\Rightarrow$ [/mm] Für eine Konstante [mm] $\,c\,$ [/mm] gilt: [mm] $\frac{c}{b_n} \to \frac{c}{b}$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$' [/mm]
(Wenn Dir diese Formulierung unbekannt ist: Du kennst den Satz für $c=1$, und für allgemeines $c$ folgt er dann aus [mm] $\frac{c}{b_n}=c*\frac{1}{b_n} \to c*\frac{1}{b}$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$; [/mm] dabei wird [mm] $d_n \to [/mm] d$ [mm] $\Rightarrow$ $c*d_n \to [/mm] c*d$, jeweils bei $n [mm] \to \infty$, [/mm] verwendet.)
Also die Aufgabe ist nicht schwer, aber man sollte sich nach und nach klarmachen, welche Rechenregel man anwendet und warum man die anwenden darf.
Ein Beispiel, wo man "einfach falsch rechnet", weil die Begründung dann nicht passt:
Wir betrachten [mm] $a_n=(-1)^{n}+(-1)^{n+1}\,.$
[/mm]
Dann ist klar:
[mm] $$a_n=0 \text{ für alle }n \Rightarrow \lim_{n \to \infty} a_n=0\,.$$
[/mm]
Würde ich hier nun schreiben:
[mm] $$\lim_{n \to \infty} \left((-1)^{n}+(-1)^{n+1}\right)=\lim_{n \to \infty} (-1)^n +\lim_{n \to \infty} (-1)^{n+1}\,,$$
[/mm]
so wäre das grober Unfug. Für die Regel [mm] $\lim_{n \to \infty} a_n+b_n=\lim_{n \to \infty} a_n+\lim_{n \to \infty}b_n$ [/mm] braucht man ja die Konvergenz der Folgen [mm] $(a_n)_n$ [/mm] und [mm] $(b_n)_n$. [/mm] Und mit [mm] $a_n=(-1)^n$ [/mm] und [mm] $b_n=(-1)^{n+1}$ [/mm] konvergiert sogar weder [mm] $(a_n)_n$ [/mm] noch [mm] $(b_n)_n$.
[/mm]
Es geht bei der Aufgabe oben eher darum, dass man die Regeln, die man kennengelernt hat, bei der Aufgabe anwendet und eine vernünftige, d.h. lückenlose, Argumentationskette angibt, wie man zu dem (hoffentlich richtigen) Ergebnis kommt.
Gruß,
Marcel
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