Grenzwert einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:41 Do 20.01.2011 | | Autor: | lexxy |
| Aufgabe 1 | Berechne für die Folgen den Grenzwert:
a) [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{n^{3}+5n^{2}-2}{3n^{3}+1} [/mm] |
| Aufgabe 2 | | b) [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{2^n + 4^n}{2^n+5^n} [/mm] |
| Aufgabe 3 | | c) [mm] a_n [/mm] = [mm] \wurzel{n^2 + 100n} [/mm] - n |
| Aufgabe 4 | | d) [mm] a_n [/mm] = [mm] \vektor{n \\ 7} [/mm] / [mm] 2^n [/mm] |
Hallo matheraum.de!
Ich komme grad nicht ganz klar mit Grenzwerten und bräuchte ein wenig Unterstützung bei der Korrektur der Aufgaben.
Zu Aufgabe a):
Ich klammere sowohl oben als auch unten den höchsten Exponenten aus (n³ in dem Fall), übrig bleiben im Zähler eine 1 und zwei Werte die auf dem Weg ins Unendliche richtung Null gehen und im Nenner eine 4. Ist das so richtig?
Zu Aufgabe b):
Da sowohl im Zähler als auch im Nenner alle Glieder beider Summen n als Exponent haben hätte ich oben auf dem Bruchstrich ein Unendlich und unten auf dem Bruchstrich ein Unendlich. Von der Idee her würde ich dann ja sagen es strebt gegen 1, mein Gefühl sagt mir aber dass der Grenzwert bei Unendlich liegt. Wie finde ich das heraus?
Zu Aufgabe c):
Kann leider mit der Wurzel nicht viel anfangen, gefühlt geht das ganze aber auch gegen unendlich, da selbst wenn man die Wurzel auflösen würde der Teil unter der Wurzel immernoch >n wäre.
Zu Aufgabe d):
Auch hier kann ich mit dem Binomialkoeffizienten (bitte so und nicht als Vektor lesen ;) ) nicht viel anfangen. Meine Idee ist aber, dass ich im Prinzip wissen sollte, was hier schneller steigt. Außerdem weiß ich, dass der Dividend erst ab n=7 einen Wert hat und davor undefiniert ist. Zusätzlich weiß ich noch, dass der Binomialkoeffizient sich aus Fakultäten zusammensetzt. Bringt mich das irgendwie weiter? Wie gehe ich damit um?
Ich habe grundsätzlich ein Verständnisproblem mit Wurzeln, Logarithmen oder Binomialkoeffizienten in Folgen. Wie gehe ich damit um? Welche Auswirkungen haben diese auf einen Grenzwert?
Vielen Dank im Voraus für die Hilfe!
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Hallo lexxy,
na, dann schaun wir mal:
> Berechne für die Folgen den Grenzwert:
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> a) [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{n^{3}+5n^{2}-2}{3n^{3}+1}[/mm]
> b) [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{2^n + 4^n}{2^n+5^n}[/mm]
> c) [mm]a_n[/mm] = [mm]\wurzel{n^2 + 100n}[/mm] - n
> d) [mm]a_n[/mm] = [mm]\vektor{n \\
7}[/mm] / [mm]2^n[/mm]
> Hallo matheraum.de!
>
> Ich komme grad nicht ganz klar mit Grenzwerten und
> bräuchte ein wenig Unterstützung bei der Korrektur der
> Aufgaben.
>
> Zu Aufgabe a):
> Ich klammere sowohl oben als auch unten den höchsten
> Exponenten aus (n³ in dem Fall), übrig bleiben im Zähler
> eine 1 und zwei Werte die auf dem Weg ins Unendliche
> richtung Null gehen und im Nenner eine 4. Ist das so
> richtig?
Die Technik ist richtig. Ich lese im Nenner da eine 3. Entweder die Aufgabe oder Deine Antwort enthalten wohl einen Fehler.
> Zu Aufgabe b):
> Da sowohl im Zähler als auch im Nenner alle Glieder
> beider Summen n als Exponent haben hätte ich oben auf dem
> Bruchstrich ein Unendlich und unten auf dem Bruchstrich ein
> Unendlich. Von der Idee her würde ich dann ja sagen es
> strebt gegen 1, mein Gefühl sagt mir aber dass der
> Grenzwert bei Unendlich liegt. Wie finde ich das heraus?
Hattet Ihr den Satz von l'Hospital? Damit ist es z.B. zu lösen.
Alternativ kannst Du auch wie folgt vorgehen:
Es gilt ja sicher [mm] 0\le a_n [/mm] für alle n.
Außerdem gilt auch [mm] a_n\le\bruch{4^{n+1}}{5^n}=4*\left(\bruch{4}{5}\right)^n [/mm] ebenfalls für alle n.
Wenn Du jetzt den Grenzwert des rechten Terms bildest, findest Du gleichzeitig den von [mm] a_n [/mm] sehr leicht. Dein Gefühl trügt.
> Zu Aufgabe c):
> Kann leider mit der Wurzel nicht viel anfangen, gefühlt
> geht das ganze aber auch gegen unendlich, da selbst wenn
> man die Wurzel auflösen würde der Teil unter der Wurzel
> immernoch >n wäre.
Der unerwartete Grenzwert ist 50.
Erweitere mal mit diesem Bruch: [mm] \bruch{\wurzel{n^2+100n}\blue{+}n}{\wurzel{n^2+100n}\blue{+}n}
[/mm]
Danach gehst Du vor wie in Aufgabe a - hier also n in Zähler und Nenner ausklammern.
> Zu Aufgabe d):
> Auch hier kann ich mit dem Binomialkoeffizienten (bitte so
> und nicht als Vektor lesen ;) ) nicht viel anfangen. Meine
> Idee ist aber, dass ich im Prinzip wissen sollte, was hier
> schneller steigt. Außerdem weiß ich, dass der Dividend
> erst ab n=7 einen Wert hat und davor undefiniert ist.
> Zusätzlich weiß ich noch, dass der Binomialkoeffizient
> sich aus Fakultäten zusammensetzt. Bringt mich das
> irgendwie weiter? Wie gehe ich damit um?
In der Tat solltest Du Dir den Binomialkoeffizienten genauer ansehen.
Wenn die Folge einen Grenzwert [mm] \not=0 [/mm] hat, dann muss auch [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] gegen 1 gehen (das Umgekehrte gilt aber leider nicht). Ist der Grenzwert dieses Bruches <1, läuft die Folge gegen Null (wobei ich gerade nur komplett positive Folgen betrachte - ansonsten muss man sich noch Gedanken über den Betrag machen!). Ist der Grenzwert des Bruches >1, divergiert die Folge.
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> Ich habe grundsätzlich ein Verständnisproblem mit
> Wurzeln, Logarithmen oder Binomialkoeffizienten in Folgen.
> Wie gehe ich damit um? Welche Auswirkungen haben diese auf
> einen Grenzwert?
Das kann man so pauschal nicht sagen. Natürlich bekommt man mit ein bisschen Übung ein Gefühl dafür, was wohl wie schnell wächst (und vor allem schneller als anderes), aber letztlich muss man es doch immer wieder zeigen, so wie bei diesen Aufgaben.
Mach mal weiter. d) ist ein bisschen knifflig, aber durchaus lösbar.
Viel Erfolg!
reverend
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