Grenzwert einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:52 So 24.11.2013 | | Autor: | Sin777 |
Hallo, im Rahmen der Berechnung eines Konvergenzradiuses benötige ich den Grenzwert (k gegen unendlich) von [mm] \bruch{k!^{1/k}}{k^2}. [/mm] Ich vermute dass hier Null rauskommt, jedoch weiß ich nicht wie ich das zeigen kann.
Kann mir jemand helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:53 So 24.11.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
du vermutest erst einmal richtig.
Das erstmal nur als Mitteilung, mal gucken, ob wir das noch bewiesen bekommen 
Gruß,
Gono.
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Hiho,
also erstmal aufschreiben, was man hat.
Vielleicht hat ja dann jemand eine Idee:
Es gilt:
[mm] $\lim_{n\to\infty} \bruch{\sqrt[n]{n!}}{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{e}$
[/mm]
Daraus folgt das Gewünschte ja sofort.
Bliebe also zu zeigen:
[mm] $\lim_{n\to\infty} \bruch{n}{\sqrt[n]{n!}} [/mm] = e$
Leider sehe ich noch nicht, wie man das auf eine bekannte Form für e zurückführen könnte.
edit: Ah, das macht man mit der guten alten ![[]](/images/popup.gif) Stirling-Formel.
Da erhält man das direkt als Resultat.
In diesem Sinne: Reicht dir das?
Gruß,
Gono.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:36 Mo 25.11.2013 | | Autor: | fred97 |
Für k [mm] \in \IN [/mm] ist
k! [mm] \le k^k.
[/mm]
Damit ist
[mm] \wurzel[k]{k!} \le [/mm] k.
Fazit:
0 [mm] \le \bruch{\wurzel[k]{k!}}{k^2} \le \bruch{1}{k}
[/mm]
FRED
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