Grenzwert einer Funktion < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 So 11.07.2010 | | Autor: | jooo |
Wie komme ich von:
[mm] \limes_{x\rightarrow2}\vektor{\bruch{1}{2-x}-\bruch{12}{8-x^3}}
[/mm]
auf:
[mm] \limes_{x\rightarrow2}\vektor{\bruch{4+2x+x^2-12}{8-x^3}}
[/mm]
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Hallo jooo,
> Wie komme ich von:
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> [mm]\limes_{x\rightarrow2}\vektor{\bruch{1}{2-x}-\bruch{12}{8-x^3}}[/mm]
>
> auf:
> [mm]\limes_{x\rightarrow2}\vektor{\bruch{4+2x+x^2-12}{8-x^3}}[/mm]
Mache die beiden Brüche gleichnamig:
[mm] $\frac{1}{2-x}-\frac{12}{8-x^3}=\frac{8-x^3-12(2-x)}{(2-x)(8-x^3)}$
[/mm]
Nun den Zähler ausrechnen, dann dessen Nullstellen bestimmen, um ihn zu faktorisieren, du wirst sehen, dass $x=2$ eine NST ist, du kannst den Zähler also schreiben als [mm] $(2-x)\cdot{}\text{Rest}$ [/mm] (mache evtl. eine Polynomdivision) und entsprechend kürzen ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Fr 16.07.2010 | | Autor: | jooo |
Also ich habe nun:
[mm] \bruch{-16-x^3+12x}{(2-x)*(8-x^3)}
[/mm]
Wenn ich nun eine Polynomdivision mache muß ich ja schon eine Nullstelle wissen! Woher kenne ich eine Nullstelle ?
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Hallo nochmal,
> Also ich habe nun:
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> [mm]\bruch{-16-x^3+12x}{(2-x)*(8-x^3)}[/mm]
>
> Wenn ich nun eine Polynomdivision mache muß ich ja schon
> eine Nullstelle wissen! Woher kenne ich eine Nullstelle ?
Nun, hier kannst du schnell eine NST raten.
Es gibt einen Satz, der besagt, dass, wenn ein Polynom eine ganzzahlige Nullstelle hat, diese ganzzahliger Teiler des Absolutgliedes ist.
Hier hast du das Zählerpolynom [mm] $z(x)=-x^3+12x-16$
[/mm]
Das Absolutglied ist -16, das hat die ganzzahligen Teiler [mm] $\pm 1,\pm 2\pm 4,\pm 8,\pm [/mm] 16$
Das sollte schnell durch Einsetzen zu überprüfen sein ...
Ein systematischer Weg über eine Formel besteht darin, die Formel von Cardano anzuwenden, aber das ist aufwendig ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 Fr 16.07.2010 | | Autor: | jooo |
Ich benötige als nur eine Zahl die den Nenner zu null macht?
Meine Polynomdivision liefert mir dann:
[mm] (-x^3+12x-16) [/mm] / [mm] (-x+2)=x^2+2x-8
[/mm]
Heist mein neuer Bruch dann
[mm] \bruch{x^2+2-8}{(8-x^3)*(2-x)}
[/mm]
oder
[mm] \bruch{x^2+2-8}{(8-x^3)}
[/mm]
Gruß Jooo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 Fr 16.07.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Da aus der Polynomdivision
[mm] (-x^3+12x-16):(-x+2)=x^{2}+2x-8 [/mm] hervorgeht, gilt
[mm] (-x^3+12x-16):(-x+2)=x^{2}+2x-8
[/mm]
[mm] \gdw (-x^3+12x-16)=(-x+2)(x^{2}+2x-8)
[/mm]
Also musst du [mm] -x^3+12x-16 [/mm] durch [mm] (-x+2)(x^{2}+2x-8) [/mm] ersetzen, so dass deine zweitere Variante, die ja schon gekürzt wurde, korrekt ist.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Fr 16.07.2010 | | Autor: | abakus |
> Also ich habe nun:
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> [mm]\bruch{-16-x^3+12x}{(2-x)*(8-x^3)}[/mm]
>
> Wenn ich nun eine Polynomdivision mache muß ich ja schon
> eine Nullstelle wissen! Woher kenne ich eine Nullstelle ?
Hallo,
da laut deiner Original-Aufgabenstellung offensichtlich die Addition zweier Brüche mit den Nenner (2-x) und [mm] (8-x^3) [/mm] einen neuen Bruch mit (wiederum) [mm] (8-x^3) [/mm] als Hauptnenner ergibt, MUSS doch [mm] 8-x^3 [/mm] wohl ein Vielfaches von 2-x sein.
Teile deshalb [mm] 8-x^3 [/mm] durch 2-x, um zu sehen, womit der erste Bruch zu erweitern ist!
Gruß Abakus
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