Grenzwert einer Funktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | [mm] $f_n(x):= \frac{1}{(1-x^2) \sqrt[n]{1+x^n}}$ [/mm] mit $x [mm] \in (1,\infty)$. [/mm] Berechne [mm] $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} f_n(x)$. [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Die Aufgabe erklärt sich ja schon selbst.
Ich bin soweit:
[mm] $\frac{1}{(1-x^2) \sqrt[n]{1+x^n}} [/mm] = [mm] \frac{1}{(1-x^2)}$ [/mm] da [mm] $\sqrt[n]{1+x^n} \rightarrow [/mm] 1$ stimmt das?
|
|
| |
|
> [mm]f_n(x):= \frac{1}{(1-x^2) \sqrt[n]{1+x^n}}[/mm] mit [mm]x \in (1,\infty)[/mm].
> Berechne [mm]\lim\limits_{n \rightarrow \infty} f_n(x)[/mm].
> Ich
> habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten
> gestellt
>
> Die Aufgabe erklärt sich ja schon selbst.
> Ich bin soweit:
>
> [mm]\frac{1}{(1-x^2) \sqrt[n]{1+x^n}} = \frac{1}{(1-x^2)}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Hab ich auch so.
> da [mm]\sqrt[n]{1+x^n} \rightarrow 1[/mm] stimmt das?
Das stimmt. Gilt aber nur, wenn du es nicht geraten hast.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:59 Fr 23.07.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
[mm] \sqrt[n]{1+x^n} [/mm] geht aber nicht gegen 1, sondern gegen x!
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:06 Fr 23.07.2010 | | Autor: | wieschoo |
Ich dachte:
[mm]
\limes_{n\rightarrow\infty}{(1+x^n)^{\frac{1}{n}}}
= {\limes_{n\rightarrow\infty}(1+x^n)^{\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}}}
= {(\limes_{n\rightarrow\infty}1+\limes_{n\rightarrow\infty} x^n)^{\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}}}
= ({1+ \limes_{n\rightarrow\infty}{x}^{\limes_{n\rightarrow\infty}n})^{\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}}}
= ({1+{x}^{\limes_{n\rightarrow\infty}n})^{\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}}}
[/mm]
[mm]
= ({1+{x}^{\infty})^{\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}}}
=(1+x^{\infty} )^0
=1
[/mm]
Ich hab bei den Klammer den Überblick verloren.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:10 Fr 23.07.2010 | | Autor: | Teufel |
Also so darfst du aber nicht mit Grenzwerten rumrechnen! Das 1. Gleichheitszeichen darf man schon nicht setzen.
Ohne das formal nachzuweisen: [mm] \sqrt[n]{1+x^n}\approx \sqrt[n]{x^n}=x.
[/mm]
Teufel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:34 Fr 23.07.2010 | | Autor: | wieschoo |
Arrg
[mm]
\limes_{n\rightarrow\infty}{(1+x^n)^{\frac{1}{n}}}
=\limes_{n\rightarrow\infty}{\exp{\ln{(1+x^n)^{\frac{1}{n}}}}}
=\lim{\exp{\frac{\ln{(1+x^n)}}{n}}}
[/mm]
L'Hopital
[mm]
=\lim\exp{\frac{x^n\ln{x}}{1+x^n}}
=\lim\exp{\frac{x^n \ln^2(x)}{x^n\ln(x)}}
=\lim\exp{\ln{x}}=\limes_{n\rightarrow\infty}x=x
[/mm]
Wenn das so stimmt. Nehm ich alles zurück. Sorry. Dann wäre die Lösung
$ [mm] \frac{1}{(1-x^2) \sqrt[n]{1+x^n}} \overset{n\to\infty}{\rightarrow} \frac{1}{(1-x^2)x} [/mm] $
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:03 Mo 26.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Arrg
>
> [mm]
\limes_{n\rightarrow\infty}{(1+x^n)^{\frac{1}{n}}}
=\limes_{n\rightarrow\infty}{\exp{\ln{(1+x^n)^{\frac{1}{n}}}}}
=\lim{\exp{\frac{\ln{(1+x^n)}}{n}}}
[/mm]
>
> L'Hopital
> [mm]
=\lim\exp{\frac{x^n\ln{x}}{1+x^n}}
=\lim\exp{\frac{x^n \ln^2(x)}{x^n\ln(x)}}
=\lim\exp{\ln{x}}=\limes_{n\rightarrow\infty}x=x[/mm]
Was für ein Aufwand ........ !
Für x>1:
$x= [mm] \wurzel[n]{x^n}\le \wurzel[n]{1+x^n} \le \wurzel[n]{2*x^n} =\wurzel[n]{2}*x$
[/mm]
Jetzt n [mm] \to \infty
[/mm]
FRED
>
> Wenn das so stimmt. Nehm ich alles zurück. Sorry. Dann
> wäre die Lösung
> [mm]\frac{1}{(1-x^2) \sqrt[n]{1+x^n}} \overset{n\to\infty}{\rightarrow} \frac{1}{(1-x^2)x}[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:35 Mo 26.07.2010 | | Autor: | fred97 |
Für Interessierte:
Sind [mm] a_1, ...,a_n [/mm] nichtnegative Zahlen aus [mm] \IR, [/mm] so kann man mit obiger Methode zeigen, dass
[mm] $\wurzel[p]{a_1^p+ ...+ a_n^p} \to max\{a_1, ...,a_n \}$ [/mm] für $p [mm] \to \infty$
[/mm]
Aus diesem Grund wird die Maximumsnorm auch [mm] \infty [/mm] - Norm genannt und mit [mm] $||*||_{\infty}$ [/mm] bezeichnet.
FRED
|
|
|
|
![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]"){kind=small}
