Grenzwert einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:42 Di 02.09.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Grenzwert der folgenden Reihe:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n*(2n+1)}
[/mm]
Bestimmen Sie dazu zunächst mit Hilfe der Partialbruchzerlegung die explizite Form dieser Partialsummenfolgen und berechnen Sie damit den Grenzwert. |
Also mit Hilfe der PBZ habe ich rausbekommen:
[mm] \bruch{1}{n*(2n+1)}=\bruch{2}{n}-\bruch{2}{n+\bruch{1}{2}}
[/mm]
Ich denke man kann mit dem Grenzwert dann vorgehen:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n*(2n+1)}=2-\bruch{4}{3}+1-\bruch{4}{5}+...+\bruch{2}{n}-\bruch{2}{n+\bruch{1}{2}}=...
[/mm]
Hier bin ich mir jetzt nicht ganz sicher, kann ich anstatt den ... hinter dem letzten Gleichheitszeichen dann schreiben
[mm] =2-\bruch{2}{n+\bruch{1}{2}} [/mm] ?
Und dann:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n*(2n+1)}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}2-\bruch{2}{n+\bruch{1}{2}}
[/mm]
=2 ?
Ich habe das Vorgehen nicht wirklich verstanden,
habe aber versucht so vorzugehen wie in dem Beispiel ![[]](/images/popup.gif) in diesem PDF Dokument auf Seite 6.
Danke und Gruß,
tedd
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Die Partialbruchzerlegung stimmt nicht ganz, die Zweien im Zähler sind zuviel. Und dann ist es günstig, vor der Reihe zusätzlich den Faktor [mm]\frac{1}{2}[/mm] anzubringen, damit die Nenner ganzzahlig werden (am Ende kannst du das wieder durch Multiplikation mit 2 zurechtrücken). Du solltest dabei eine bekannte Reihe wiedererkennen.
Und dann noch etwas Grundsätzliches: Wenn du als obere Grenze der Summation [mm]\infty[/mm] schreibst, kannst du natürlich keinen letzten Summanden haben. Du mußt also deutlich unterscheiden zwischen den endlichen (!) Partialsummen der unendlichen (!) Reihe und der unendlichen (!) Reihe selbst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 Di 02.09.2008 | | Autor: | tedd |
> Die Partialbruchzerlegung stimmt nicht ganz, die Zweien im
> Zähler sind zuviel. Und dann ist es günstig, vor der Reihe
> zusätzlich den Faktor [mm]\frac{1}{2}[/mm] anzubringen, damit die
> Nenner ganzzahlig werden (am Ende kannst du das wieder
> durch Multiplikation mit 2 zurechtrücken). Du solltest
> dabei eine bekannte Reihe wiedererkennen.
Stimmt!
Es sollte richtig heissen,
[mm] \bruch{1}{n*(2n+1)}=\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+\bruch{1}{2}}
[/mm]
Und da ist natürlich die harmonische Reihe drin die divergent ist. Oder kann ich jetzt nur anhand der harmonischen "Teil"Reihe sagen, dass die gesamte Reihe divergent ist?
> Und dann noch etwas Grundsätzliches: Wenn du als obere
> Grenze der Summation [mm]\infty[/mm] schreibst, kannst du natürlich
> keinen letzten Summanden haben. Du mußt also deutlich
> unterscheiden zwischen den endlichen (!) Partialsummen der
> unendlichen (!) Reihe und der unendlichen (!) Reihe selbst.
Stimmt auch, das hatte ich übersehen:
$ [mm] \summe_{n=1}^{n}\bruch{1}{n\cdot{}(2n+1)}=1-\bruch{2}{3}+\bruch{1}{2}-\bruch{2}{5}+...+\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+\bruch{1}{2}}=1-\bruch{1}{(n+\bruch{1}{2})} [/mm] $?
Ich weis je eh nicht ob es richtig ist aber wenn ja verstehe ich nicht wieso ich das so schreiben kann bzw anstatt [mm] \bruch{1}{n} [/mm] eine 1 schreiben.
Dann wäre
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n\cdot{}(2n+1)}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{n}\bruch{1}{n\cdot{}(2n+1)}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}1-\bruch{1}{(n+\bruch{1}{2})}
[/mm]
=1
Ich befürchte zwar, dass das falsch ist aber....
Gruß,
tedd
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Nein, das stimmt nicht. Du läßt auf einmal eine ganze Reihe von Summanden weg und ersetzt sie durch 1. Mit welchem Recht?
Warum befolgst du nicht meinen Ratschlag?
[mm]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(2n+1)} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + \frac{1}{2}} \right) = 2 \cdot \left( \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + \frac{1}{2}} \right) \right)[/mm]
Und jetzt multipliziere den Faktor [mm]\frac{1}{2}[/mm] in die Reihe hinein und ziehe die 2 zu den beiden Nennern. Schreibe dir dann die ersten Glieder der Reihe hin. Beachte aber, daß es kein letztes Glied gibt (unendliche Reihe).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:27 Di 02.09.2008 | | Autor: | tedd |
> Nein, das stimmt nicht. Du läßt auf einmal eine ganze Reihe
> von Summanden weg und ersetzt sie durch 1. Mit welchem
> Recht?
>
> Warum befolgst du nicht meinen Ratschlag?
>
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(2n+1)} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + \frac{1}{2}} \right) = 2 \cdot \left( \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + \frac{1}{2}} \right) \right)[/mm]
>
> Und jetzt multipliziere den Faktor [mm]\frac{1}{2}[/mm] in die Reihe
> hinein und ziehe die 2 zu den beiden Nennern. Schreibe dir
> dann die ersten Glieder der Reihe hin. Beachte aber, daß es
> kein letztes Glied gibt (unendliche Reihe).
So?
[mm] 2*\left(\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2n}-\bruch{1}{2n+1}\right)
[/mm]
[mm] =2*\left(\bruch{1}{2}-\bruch{1}{3}+\bruch{1}{4}-\bruch{1}{5}+\bruch{1}{6}-\bruch{1}{7}+...\right)
[/mm]
[mm] =2*\left(\bruch{1}{6}+\bruch{1}{20}+\bruch{1}{42}+...\right)
[/mm]
Sorry aber ich sehe nicht was mir das bringt bzw wie es jetzt weitergehen soll?
Danke und Gruß,
tedd
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> > Nein, das stimmt nicht. Du läßt auf einmal eine ganze Reihe
> > von Summanden weg und ersetzt sie durch 1. Mit welchem
> > Recht?
> >
> > Warum befolgst du nicht meinen Ratschlag?
> >
> > [mm]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(2n+1)} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + \frac{1}{2}} \right) = 2 \cdot \left( \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + \frac{1}{2}} \right) \right)[/mm]
>
> >
> > Und jetzt multipliziere den Faktor [mm]\frac{1}{2}[/mm] in die Reihe
> > hinein und ziehe die 2 zu den beiden Nennern. Schreibe dir
> > dann die ersten Glieder der Reihe hin. Beachte aber, daß es
> > kein letztes Glied gibt (unendliche Reihe).
>
> So?
>
> [mm]2*\left(\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2n}-\bruch{1}{2n+1}\right)[/mm]
>
> [mm]=2*\left(\bruch{1}{2}-\bruch{1}{3}+\bruch{1}{4}-\bruch{1}{5}+\bruch{1}{6}-\bruch{1}{7}+...\right)[/mm]
>
> [mm]=2*\left(\bruch{1}{6}+\bruch{1}{20}+\bruch{1}{42}+...\right)[/mm]
>
Hallo,
Du hast zu viel gemacht.
Guck' Dir mal die vorletzte Zeile an.
In der Klammer steht etwas, das ziemlich viel mit der alternierenden harmonischen Reihe zu tun hat.
Mach Dich nun ein bißchen über diese Reihe und ihren Grenzwert schlau.
Du bist dicht vorm Ziel.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Di 02.09.2008 | | Autor: | tedd |
Also im Wikipedia steht, dass die alternierende harmonische Reihe einen Grenwert von ln(2) hat.
Dann habe ich glaube ich noch was anderes gefunden, dass man durch umpositionieren der einzelnen Glieder den Grenzwert beliebig verändern kann.
Das was in der Klammer steht wäre ja
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}*\bruch{1}{n+1} [/mm] oder ?
Aber der Grenzwert für das was in der Klammer steht ist hier doch nicht auch ln(2) oder?
Da die "normale" alternierende harmonische Reihe ja
[mm] (1-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}-\bruch{1}{4}+...) [/mm] lautet und bei mir die 1 fehlt.
Hmmmm
Habe noch überlegt ob ich vielleicht -1 ausklammern könnte:
[mm] -2\cdot{}\limes_{n\rightarrow\infty}\left(-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}-\bruch{1}{4}+\bruch{1}{5}-\bruch{1}{6}+\bruch{1}{7}-...\right)
[/mm]
=-2*(ln(2)-1)
da die 1 ja fehlt
aber da habe ich wahrscheinlich schon wieder zu kompliziert gedacht.
Gruß,
tedd
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> [mm]-2\cdot{}\limes_{n\rightarrow\infty}\left(-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}-\bruch{1}{4}+\bruch{1}{5}-\bruch{1}{6}+\bruch{1}{7}-...\right)[/mm]
> =-2*(ln(2)-1)
> da die 1 ja fehlt
> aber da habe ich wahrscheinlich schon wieder zu
> kompliziert gedacht.
Hallo,
nö, die idee ist doch gut.
Deine Reihe
[mm] =-2\cdot{}\left(-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}-\bruch{1}{4}+\bruch{1}{5}-\bruch{1}{6}+\bruch{1}{7}-...\right)
[/mm]
[mm] =-2\cdot{}\left(-1+1-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}-\bruch{1}{4}+\bruch{1}{5}-\bruch{1}{6}+\bruch{1}{7}-...\right)
[/mm]
=-2 (-1 + [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\bruch{1}{n}),
[/mm]
und den Reihenwert kennst Du ja.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 Di 02.09.2008 | | Autor: | tedd |
Also beträgt der Grenzwert der Reihe tatsächlich
-2*(-1+ln(2)) ?
Gruß,
tedd
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Hallo tedd,
>
>
> Also beträgt der Grenzwert der Reihe tatsächlich
> -2*(-1+ln(2)) ?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
In der Tat, ja!
>
> Gruß,
> tedd
LG
schachuzipus
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