Grenzwert einer Reihe bestimme < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:23 Sa 06.08.2011 | | Autor: | Pia90 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Grenzwert der Reihe
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{3^k}{2^{2k+1}}. [/mm] |
Hallo zusammen,
ich brauche nochmal eure Hilfe, denn ich scheine grad total auf dem Schlauch zu stehen und selbst die einfachsten Dinge vergessen zu haben.
Ich bin gerade damit überfordert, den Grenzwert der Reihe zu bestimmen, kann mir jemand einen Tipp geben oder zeigen, wie ich dabei am besten vorgehe?!
Wir kennen noch kein Quotientenkriterium, Wurzelkriterium und Co. ...
Mein erster Gedanke war, dass man die Reihe wahrscheinlich irgendwie abschätzen kann und die geom. Reihe zur Bestimmung des Grenzwertes nutzen kann, aber ich weiß nicht wie... Darf man überhaupt abschätzen oder verfälscht das den Grenzwert?
Viele Grüße,
Pia
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Nein, abschätzen darfst du hier nicht. Du sollst ja den Reihenwert berechnen und nicht nur die Reihe auf Konvergenz untersuchen.
Man kann das Reihenglied auf die Form
[mm]\frac{1}{c} \cdot \left( \frac{a}{b} \right)^k[/mm] mit [mm]a,b,c \in \{ 2,3,4 \}[/mm]
bringen. Mit der geometrischen Reihe hattest du also den richtigen Riecher.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Sa 06.08.2011 | | Autor: | Pia90 |
Ah, ich glaub ich hab es jetzt :) Danke für deine Hilfe!
Ich habs jetzt wie folgt gemacht:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{3^k}{2^{2k+1}} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{3^k}{2*2^{2k}} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{3^k}{2* 4^k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{2} (\bruch{3}{4})^k [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{3}{4})^k [/mm] und jetzt kann ich das Wissen über die geom. Reihe anwenden, habe also [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \bruch{1}{1- \bruch{3}{4}} [/mm] = 2
Ist das so richtig?
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Hallo Pia90,
> Ah, ich glaub ich hab es jetzt :) Danke für deine Hilfe!
> Ich habs jetzt wie folgt gemacht:
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{3^k}{2^{2k+1}}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{3^k}{2*2^{2k}}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{3^k}{2* 4^k}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{2} (\bruch{3}{4})^k[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{3}{4})^k[/mm] und
> jetzt kann ich das Wissen über die geom. Reihe anwenden,
> habe also [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm]\bruch{1}{1- \bruch{3}{4}}[/mm] = 2
>
> Ist das so richtig?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:15 Sa 06.08.2011 | | Autor: | Pia90 |
Danke :)
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