Grenzwert einer Summation < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechne die Fläche unter der Kurve y = 1/x² + 1 im Intervall [1;5] ohne Verwendung der Integralrechnung. |
Da ich die Integralrechnung nicht verwenden darf, habe ich wie im Unterricht eine Zerlegungsfolge, deren Grenzwert ich nun bestimmen muss, gebildet. Allerdings komme ich an folgender Stelle nicht weiter.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 4 + (4n [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{n² + 8in+16i²})
[/mm]
Es wäre schön wenn mir jemand helfen könnte. Mit den Summenformeln für Potenzen von Bernoulli (oder auch Gauß) bin ich nicht weiter gekommen, da das i ja in der Summe im Nenner steht. Irgendwo muss ich was übersehen.......
Danke
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Zum Erstellen der Folge habe ich folgende Gleichung verwendet:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}Z_n [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{b-a}{n}*\summe_{i=1}^{n}f\left(a+i*\bruch{b-a}{n}\right)
[/mm]
Hierbei sind a und b die Intervalleränder.
Weiß niemand eine Lösung für das Problem? (Bei ganzrationalen Funktionenn hatte ich keine Problem aber hier bei der gebrochenrationalen....)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:12 So 27.08.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Werder Rocks
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Dein Formel ist richtig, aber in diesem Fall ungünstig gewählt! Du kannst ja in jedem einzelnen kleinen Intervall die Höhe am Anfang, (Deine Summe von i=0 an bis n-1) am Ende, deine Summe, In der Mitte (f(a+(2i+1)*(b-a)/n) oder an irgendeiner anderen Zwischenstelle nehmen.
für mich ist die Erklärung einfacher, wenn a=x1, b=xn und dazwischen die x2,x3,.. liegen.
Bei dieser speziellen Funktion ist ein sehr geeigneter Punkt zwischen [mm] x_{i} [/mm] und [mm] x_{i+1} [/mm] das geometrische Mittel zwischen den 2 Punkten. also [mm] $\wurzel{x_{i}*x_{i+1}}$ [/mm] das liegt dazwischen. dann ist [mm] $f(\wurzel{x_{i}*x_{i+1}} [/mm] ) = [mm] \bruch{1}{x_{i}*x_{i+1}}$
[/mm]
Die Intervalllänge ist [mm] x_{i+1}-x_{i}
[/mm]
Der Anfang der Summe aller Treppenteile ist dann :
[mm] $\bruch{1}{x_{2}*x_{1}}*(x_{2}-x_{1})+\bruch{1}{x_{3}*x_{2}}*(x_{3}-x_{2})=\bruch{1}{x_{1}}-\bruch{1}{x_{2}}+\bruch{1}{x_{2}}-\bruch{1}{x_{3}}$
[/mm]
Wenn du alles aufsummierst hast du am Ende nur 1/x1-1/xn über, bzw 1/a-1/b. und zwar unabhängig von der Größe der Einzelintervalle bzw. der Größe von n. Also ist das Ergebnis exakt.
Die 1 selbst hast du ja schon richtig einzeln berechnet!
Ich hoff, der Weg leuchtet dir ein!
Gruss leduart
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