Grenzwert einer gebr.rat. F. < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Eine gebrochenrationale Funktion f habe eine Nullstelle bei x=2 und es gelte [mm] \limes_{x \to \pm \infty} [/mm] f(x)=0. Außerdem verlaufe der Graph der Funktion durch den Punkt [mm] P_1=(-1;3). [/mm] Geben Sie eine möglichst einfache Funktionsvorschrift mit genau diesen Eigenschaften an. |
Leider habe ich im Moment überhaupt keine Ahnung, wie ich anfangen soll. Ich habe eine kleine Skizze gemacht, mit den beiden gegeben Punkten. Also von [mm] P_1=(-1;3) [/mm] und die Nullstelle bei x=2 (P=(2;0). Durch diese beiden Punkte habe ich eine Gerade gezogen. Ich verstehe die Funktion auch überhaupt nicht. Sie besteht ja aus "0".
Würde mich sehr über Hilfe freuen.
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Hallo hans-itor,
wozu die Gerade dienen soll, die Du gezogen hast, verstehe ich nicht.
> Eine gebrochenrationale Funktion f habe eine Nullstelle bei
> x=2 und es gelte [mm]\limes_{x \to \pm \infty}[/mm] f(x)=0.
> Außerdem verlaufe der Graph der Funktion durch den Punkt
> [mm]P_1=(-1;3).[/mm] Geben Sie eine möglichst einfache
> Funktionsvorschrift mit genau diesen Eigenschaften an.
Du suchst eine Funktion der Form [mm] f(x)=k\bruch{P(x)}{(Q(x)}
[/mm]
Das k dient nur dazu, für P(x) und Q(x) annehmen zu dürfen, dass vor der höchsten Potenz von x der Koeffizient 1 steht.
Der Hinweis "möglichst einfache Funktionsvorschrift" deutet auf einen möglichst niedrigen Grad beider Polynome.
Da die Funktion sich "im Unendlichen" asymptotisch an die x-Achse annähert, muss Q(x) von höherem Grad sein als P(x).
Außerdem ist kein Pol angegeben, so dass Q(x) keine Nullstelle haben darf.
Damit dürfen wir als "möglichst einfach" von folgendem Ansatz ausgehen:
[mm] f(x)=k*\bruch{x+a}{x^2+bx+c}
[/mm]
Wenn möglich, sollte auch noch |k|=1 gelten.
Aus all diesen Angaben kannst Du nun f(x) bestimmen. Es gibt zwar unendlich viele Lösungen, aber nur drei mit ganzzahligen Koeffizienten. Darunter ist [mm] f(x)=-\bruch{x-2}{x^2+3x+3} [/mm] noch nicht die "einfachste". Welche der beiden anderen allerdings einfacher als die andere sein soll, vermag ich nicht zu erkennen.
> Leider habe ich im Moment überhaupt keine Ahnung, wie ich
> anfangen soll. Ich habe eine kleine Skizze gemacht, mit den
> beiden gegeben Punkten. Also von [mm]P_1=(-1;3)[/mm] und die
> Nullstelle bei x=2 (P=(2;0). Durch diese beiden Punkte habe
> ich eine Gerade gezogen. Ich verstehe die Funktion auch
> überhaupt nicht. Sie besteht ja aus "0".
>
> Würde mich sehr über Hilfe freuen.
Na dann mal los.
Grüße
reverend
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Vielen Dank für deine Antwort. Da war mein Ansatz ja komplett daneben. Aber wie kommst du auf: $ [mm] f(x)=-\bruch{x-2}{x^2+3x+3} [/mm] $ ?
Das "-" vor dem Bruchstrich kommt vermutlich durch das -1 des Punktes. Aber wie kommt man darauf, dass b und c jeweils 3 sind?
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Hallo hans-itor,
> Vielen Dank für deine Antwort. Da war mein Ansatz ja
> komplett daneben. Aber wie kommst du auf:
> [mm]f(x)=-\bruch{x-2}{x^2+3x+3}[/mm] ?
>
> Das "-" vor dem Bruchstrich kommt vermutlich durch das -1
> des Punktes. Aber wie kommt man darauf, dass b und c
> jeweils 3 sind?
Aus der Bedingungsgleichung
[mm]f\left(-1\right)=3[/mm]
ist zunächst das "k" zu bestimmen.
Aus der Wahl von "k" folgt dann eine Bedingungsgleichung
für die Unbekannten b, c.
Dann weisst Du das das Nennerpolynom
[mm]x^{2}+b*x+c[/mm]
keine reellen Nullstellen haben darf.
Durch diese Forderung kannst Du wiederum b oder c einschränken.
Gruss
MathePower
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