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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:02 Di 26.10.2010 | | Autor: | Kato |
| Aufgabe | | Man zeige, dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n+1}+\,...\,+\bruch{1}{2n}\right) [/mm] existiert und eine Zahl [mm] L [/mm] ist, mit [mm]\bruch{1}{2}\le L \le 1[/mm]. |
Guten Abend,
ich finde hier irgendwie nicht den richtigen Ansatz. Ich habe z.B. herausgefunden, dass es [mm] n+1 [/mm] Summanden gibt oder, dass die Reihe so geschrieben werden kann: [mm] \summe_{i=1}^{n-1}\bruch{1}{n}\,-\,\summe_{i=1}^{2n}\bruch{1}{n} [/mm], aber das hilft mir alles nicht weiter. Kann mir bitte jemand die richtige Richtung zeigen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank im Voraus,
Kato
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Hallo,
für jeden der Summanden [mm] \tfrac{1}{k} [/mm] mit $ [mm] n\le k\le [/mm] 2n $ gilt doch:
[mm] \bruch{1}{n}\ge \bruch{1}{k}\ge \bruch{1}{2n}
[/mm]
Jetzt würde die Aufgabe sehr schön aufgehen, wenn es genau n Summanden wären. Aber da hat sich der Aufgabensteller leider vertan. Du bekommst auf keinem Weg genau das gewünschte Ergebnis.
Dafür könntest Du die Intervallschachtelung noch verbessern.
Oder Du zeigst gleich, dass der Grenzwert [mm] \ln{2} [/mm] ist.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:53 Di 26.10.2010 | | Autor: | Kato |
> Hallo,
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> für jeden der Summanden [mm]\tfrac{1}{k}[/mm] mit [mm]n\le k\le 2n[/mm] gilt
> doch:
>
> [mm]\bruch{1}{n}\ge \bruch{1}{k}\ge \bruch{1}{2n}[/mm]
>
> Jetzt würde die Aufgabe sehr schön aufgehen, wenn es
> genau n Summanden wären. Aber da hat sich der
> Aufgabensteller leider vertan. Du bekommst auf keinem Weg
> genau das gewünschte Ergebnis.
Danke für deine Antwort.
Aber ich glaube ich stehe heute Abend echt auf dem Schlauch.
Du betrachtest ja jeden Summanden einzeln. Warum kann es z.B. nicht sein, dass [mm] \bruch{1}{k}+\bruch{1}{k+1} [/mm] nicht größer [mm] \bruch{1}{n} [/mm] wird.
>
> Dafür könntest Du die Intervallschachtelung noch
> verbessern.
> Oder Du zeigst gleich, dass der Grenzwert [mm]\ln{2}[/mm] ist.
Wie leite ich das aus deiner obigen Aussage ab?
>
> Grüße
> reverend
>
Liebe Grüße
Kato
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Hallo Kato,
> > für jeden der Summanden [mm]\tfrac{1}{k}[/mm] mit [mm]n\le k\le 2n[/mm] gilt
> > doch:
> >
> > [mm]\bruch{1}{n}\ge \bruch{1}{k}\ge \bruch{1}{2n}[/mm]
> >
> > Jetzt würde die Aufgabe sehr schön aufgehen, wenn es
> > genau n Summanden wären. Aber da hat sich der
> > Aufgabensteller leider vertan. Du bekommst auf keinem Weg
> > genau das gewünschte Ergebnis.
>
> Danke für deine Antwort.
> Aber ich glaube ich stehe heute Abend echt auf dem
> Schlauch.
> Du betrachtest ja jeden Summanden einzeln. Warum kann es
> z.B. nicht sein, dass [mm]\bruch{1}{k}+\bruch{1}{k+1}[/mm] nicht
> größer [mm]\bruch{1}{n}[/mm] wird.
Na, das wird doch sogar nachweislich größer!
> > Dafür könntest Du die Intervallschachtelung noch
> > verbessern.
> > Oder Du zeigst gleich, dass der Grenzwert [mm]\ln{2}[/mm] ist.
>
> Wie leite ich das aus deiner obigen Aussage ab?
Gar nicht. Das bräuchte einen anderen Weg. Es reicht aber, wenn Du erstmal das andere verstehst.
Wenn Du n Summanden hast, die alle kleiner irgendeinem festen a sind, dann wird ihre Summe kleiner n*a sein, etc.
Deswegen "funktioniert" die Aufgabe, so wie sie gedacht ist, auch nicht mit den n+1 da stehenden Summanden, sondern nur dann, wenn entweder der erste oder der letzte gestrichen werden. In der Realität aber ist die Beschränkung schon ok, weil ja, wie gesagt, der Grenzwert ermittelt werden kann.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:30 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Kato |
Vielen Dank für die Erklärung. Jetzt da ich wach bin, versteh ich es auch wieder besser. Jedenfalls ist die Aufgabe jetzt gelöst. Außerdem hätte ich selber darauf kommen, können die Näherungsformel [mm] ln n + \gamma [/mm] zu verwenden, nach dem ich die Reihe in $ [mm] \summe_{i=1}^{n-1}\bruch{1}{n}\,-\,\summe_{i=1}^{2n}\bruch{1}{n} [/mm] $ umgewandelt habe. Dann kommt man auch auf ln2 . Aber wie gesagt es war spät und ich sah schon imaginäre Zahlen.
Nochmals vielen herzlich Dank,
Kato
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:54 Mi 27.10.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> Vielen Dank für die Erklärung. Jetzt da ich wach bin,
> versteh ich es auch wieder besser. Jedenfalls ist die
> Aufgabe jetzt gelöst. Außerdem hätte ich selber darauf
> kommen, können die Näherungsformel [mm]ln n + \gamma[/mm] zu
> verwenden, nach dem ich die Reihe in
> [mm]\summe_{i=1}^{n-1}\bruch{1}{n}\,-\,\summe_{i=1}^{2n}\bruch{1}{n}[/mm]
> umgewandelt habe. Dann kommt man auch auf ln2 .
Hey, gut!
> Aber wie
> gesagt es war spät und ich sah schon imaginäre Zahlen.
>
> Nochmals vielen herzlich Dank,
> Kato
Gern doch. Grüße,
reverend
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