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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:56 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Balsam |
| Aufgabe | Entscheiden sie für die Folge (an)= [mm] \wurzel [/mm] {n²+1} - [mm] \wurzel [/mm] {´n-1}
ob sie konvergent,divergent, bestimmt divergent... ist. |
Ich bräuchte Hilfe bei dieser Aufgabe...
Mein Ansatz wäre: nach der erweiterung mit dem Term (an) folgt
(n²+1) - (n-1) / [mm] \wurzel [/mm] {n²+1} - [mm] \wurzel [/mm] {n-1}
den zähler vereinfache ich : n² -n +2 / [mm] \wurzel [/mm] {n²+1} - [mm] \wurzel [/mm] {n-1}
weiter komme ich leider nicht...
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Hallo Balsam,
benutze doch bitte den Formeleditor, damit kannst du so ziemlich jedes Zeichen eingeben.
So ist es unleserlich!
> Entscheiden sie für die Folge (an)= [mm]\wurzel[/mm] {n²+1} -
> [mm]\wurzel[/mm] {´n-1}
> ob sie konvergent,divergent, bestimmt divergent... ist.
> Ich bräuchte Hilfe bei dieser Aufgabe...
>
> Mein Ansatz wäre: nach der erweiterung mit dem Term (an)
> folgt
> (n²+1) - (n-1) / [mm]\wurzel[/mm] {n²+1} - [mm]\wurzel[/mm] {n-1}
>
> den zähler vereinfache ich : n² -n +2 / [mm]\wurzel[/mm] {n²+1} -
> [mm]\wurzel[/mm] {n-1}
>
> weiter komme ich leider nicht...
Ich vermute, es geht um [mm] $a_n=\sqrt{n^2-1}-\sqrt{n-1}$
[/mm]
Das geht bei direktem Grenzübergang [mm] $n\to\infty$ [/mm] gegen einen unbestimmten Ausdruck [mm] $\infty-\infty$
[/mm]
Ein gut bewährter "Trick", um Summen und Differenzen von Wurzeln loszuwerden, ist so zu erweitern, dass man die 3.binom. Formel anwenden kann.
Erweitere hier also mit [mm] $\sqrt{n^2-1}\red{+}\sqrt{n-1}$
[/mm]
Dann siehst du schnell ein, dass die Folge gegen [mm] $\infty$ [/mm] divergiert ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Balsam |
In der 1.Wurzel steht ein +
divergiert sie trotzdem gegen [mm] \infty [/mm] ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:19 Mo 01.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Dann zeig doch mal deine Rechnung mit dem Tipp von schachuzipus
Also:
[mm] a_{n}=\wurzel{n^{2}+1}-\wurzel{n-1}
[/mm]
[mm] =\bruch{(\wurzel{n^{2}+1}-\wurzel{n-1})(\wurzel{n^{2}+1}+\wurzel{n-1})}{\wurzel{n^{2}+1}+\wurzel{n-1}}
[/mm]
Jetzt fasse den Zähler mal weitestgehend zusammen, und überlege dann nochmal.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Balsam |
Im Zähler bleibt dann übrig:
n² - n+2
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Ja. Und? Was heißt das für den Grenzwert?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:27 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Balsam |
das es bestimmt gegen unendlich divegiert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:30 Mo 01.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
> das es bestimmt gegen unendlich divegiert?
Kann sein. Woher weisst du das? Wie bist du darauf gekommen, rateh zählt nicht.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Balsam |
gerade da liegt mein problem.
ich kann es nicht so genau entscheiden.´..wíe kann ich denn divergent und bestimmt divergent voneinander unterscheiden? ich weiss dass wenn die folge unbestimmt divergent ist es sich quasi um eine alternierenden folge handeln muss.. und ich weiss dass bei kovergenten folgen ein grenzwert ermittelt wird,,, und bei divergenten folgen ? .. vllt könntest du mir erst das erkläre... dann müsste ich auch nicht mehr raten...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:57 Mo 01.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> gerade da liegt mein problem.
> ich kann es nicht so genau entscheiden.´..wíe kann ich
> denn divergent und bestimmt divergent voneinander
> unterscheiden? ich weiss dass wenn die folge unbestimmt
> divergent ist es sich quasi um eine alternierenden folge
> handeln muss.. und ich weiss dass bei kovergenten folgen
> ein grenzwert ermittelt wird,,, und bei divergenten folgen
> ? .. vllt könntest du mir erst das erkläre... dann
> müsste ich auch nicht mehr raten...
Klammere hier auch [mm] n^{2} [/mm] im Zähler und Nenner aus, wie du es bei der anderen Aufgabe auch gemacht hast.
Zu der Frage, welche Möglichkeiten bei der Grenzwertbestimmung auftauchen, hat reverend ja auch schon was zu gesagt.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Balsam |
wenn ich n² ausklammer, dann komm ich auf den term
n² (1-1/n+2/n²) / n² [mm] \wurzel{1+1/n²} -\wurzel{1/n-1/n²}..wenn [/mm] ich das denn weiter auflösee, dann bekomm ich den grenzwert 1.. das würde ja bedeuten, dass die folge konvergent ist ... :( .. ich kann nicht mehr.. ich sitze schon seit stunden an diesen aufgaben.. ist das richtig ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 Mo 01.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein Ausklammern im Nenner ist falsch!
Besser du klammerst hier in Z und N nur n aus
[mm] Hinweis:\wurzel{a^2+b}=\wurzel{a^2*(1+b/a^2)}=a*\wurzel{1+b/a^2}
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Balsam |
stimmt diese aufgabe so mit der lösung?
(an) = [mm] \wurzel{n² + n +1} [/mm] - n
=1/2
da die folge einen grenzwert besitzt ist sie konvergent.
Ist dieses so richitg ?
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Hallo Balsam,
das ist doch eine andere Aufgabe. Was ist mit der letzten passiert? Die war noch nicht fertig.
> stimmt diese aufgabe so mit der lösung?
>
> (an) = [mm]\wurzel{n^2 + n +1}[/mm] - n
>
> =1/2
Ich habe da etwas anderes heraus.
> da die folge einen grenzwert besitzt ist sie konvergent.
>
> Ist dieses so richitg ?
Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, ist sie konvergent. Wenn nicht, dann nicht.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Balsam |
ich bin bei der aufgabe wieder so ähnlich vorgegangen.. habe es versucht über die ´dirtte binomische formel zu lösen...und komme dann auf :
1 / wurzel aus 1+1/n+1/n² (wurzel ende) +1 ... danach habe ich den limes untersucht und komme auf o,5
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:54 Mo 01.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> ich bin bei der aufgabe wieder so ähnlich vorgegangen..
> habe es versucht über die ´dirtte binomische formel zu
> lösen...und komme dann auf :
>
> 1 / wurzel aus 1+1/n+1/n² (wurzel ende) +1 ... danach habe
> ich den limes untersucht und komme auf o,5
Das scheint zu stimmen, aber ohne Formeleditor werde ich das nicht genau kontrollieren.
Diesen Trick, [mm] n^{2} [/mm] auszuklammern solltest du im übrigen auch im Zahler und Nenner der ersten Aufgabe nutzen. Dann kannst du im Bruch nämlich [mm] n^{2} [/mm] kürzen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Balsam |
[mm] 1/\wurzel{1+1/n+1/n²}+1=0,5 [/mm] ... und was meintest du mit kürzen und so weiter ??... da ich jetzt einen grenzwert habe, dann ist es doch konvergent oder ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 Mo 01.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
der GW 1/2 ist richtig, und damit konvergent auch,
aber die Art, wie du das schreibst, ohne lim und einfach [mm] a_n=....=0.5 [/mm] ist falsch.
schreib genau auf, was du bei 1 für [mm] a_n [/mm] stehen hast, bevor du den lim bildest, daraus sollte man sehen, dass es gegen [mm] +\infty [/mm] geht, also bestimmt divergiert.
Gruss leduart
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