Grenzwert f(x,y) < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:37 Mi 06.08.2014 | | Autor: | Manu3911 |
| Aufgabe | Man bestimme [mm] \limes_{P \to (0,0)}f(x,y) [/mm], wenn sich P
a) längs der x-Achse
b) längs der y-Achse
c) der Geraden y=tx, t=const. bewegt.
[mm] f(x,y) = \bruch{y^2-x^2}{x^2+y^2} [/mm] |
Hallo,
ich hab hier eigentlich gar keine Ahnung, wie ich an die Grenzwertaufgaben herangehe und unser Skript ist in der Hinsicht auch sehr dürftig.
Meine Frage ist erstmal, was der Unterschied ist, ob ich nun längs der x- oder der y-Achse an (0,0) herangehe?
Ich weiß, dass eine Funktion, die nur von einer Variablen abhängt, an einer Stelle 2 Grenzwerte haben kann, wenn man einmal von "links" und einmal von "rechts" sich dem Punkt nähert, aber wie mache ich das hier?
Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!
Gruß Manu
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Hallo Manu3911,
> Man bestimme [mm]\limes_{P \to (0,0)}f(x,y) [/mm], wenn sich P
> a) längs der x-Achse
> b) längs der y-Achse
> c) der Geraden y=tx, t=const. bewegt.
> [mm]f(x,y) = \bruch{y^2-x^2}{x^2+y^2}[/mm]
> Hallo,
>
> ich hab hier eigentlich gar keine Ahnung, wie ich an die
> Grenzwertaufgaben herangehe und unser Skript ist in der
> Hinsicht auch sehr dürftig.
> Meine Frage ist erstmal, was der Unterschied ist, ob ich
> nun längs der x- oder der y-Achse an (0,0) herangehe?
Die Richtung macht den Unterschied.
Hier wird sich aus verschiedenen Richtungen dem Punkt (0,0) angenähert.
> Ich weiß, dass eine Funktion, die nur von einer Variablen
> abhängt, an einer Stelle 2 Grenzwerte haben kann, wenn man
> einmal von "links" und einmal von "rechts" sich dem Punkt
> nähert, aber wie mache ich das hier?
>
Untersuche jeweils die folgenden Grenzwerte:
Im Falle a) [mm]\limes_{x \to 0}f(x,0) [/mm]
Im Falle b) [mm]\limes_{y \to 0}f(0,y) [/mm]
Im Falle c) [mm]\limes_{x \to 0}f(x,t*x) [/mm]
> Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!
>
> Gruß Manu
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Mi 06.08.2014 | | Autor: | Manu3911 |
Hallo,
das hat mir schonmal SEHR geholfen, Danke!!
Ich habe die Grenzwerte ausgerechnet bekommen und sind auch richtig so: a) -1, b) 1, c) [mm] \bruch{t^2-1}{t^2+1} [/mm]
Jetzt hab ich aber noch ein paar Verständnisfragen:
Also bei a) lasse ich x gegen 0 laufen, weil ich mich ja längs der x-Achse dem x-Wert 0 annähere, richtig? Warum kann ich einfach y=0 setzen? Weil ich mich dem Punkt (0,0) annähere? Anders gefragt: Wenn ich jetzt P gegen (0,1) laufen lassen würde, würde ich wieder x gegen 0 laufen lassen und y=1 setzen? Hab ich das soweit richtig verstanden?
Bei der b) verhät es sich ja wie bei a), nur aus y-Richtung, nehme ich an?
Zum Schluss noch die Frage zur c):
Da y=tx, setze ich ich das also direkt ein, damit ist meine Funktion nur noch von x abhängig, da t ja konstant ist. Warum lasse ich x gegen 0 laufen? Ich nehme stark an, weil der x-Wert des Punktes P 0 ist? Wieder anders gefragt: Wenn ich P gegen (1,0) laufen lassen würde, dann dann würde ich alles genau wie jetzt machen, nur lasse ich dann x gegen 1 laufen, oder?
Ich hoffe, das ist nicht zu viel mit der Fragerei...
Danke schonmal für die aufgebrachte Geduld mit mir!
Gruß Manu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:35 Mi 06.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Hallo,
>
> das hat mir schonmal SEHR geholfen, Danke!!
> Ich habe die Grenzwerte ausgerechnet bekommen und sind
> auch richtig so: a) -1, b) 1, c) [mm]\bruch{t^2-1}{t^2+1}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Jetzt hab ich aber noch ein paar Verständnisfragen:
> Also bei a) lasse ich x gegen 0 laufen, weil ich mich ja
> längs der x-Achse dem x-Wert 0 annähere, richtig?
> Warum kann ich einfach y=0 setzen? Weil ich mich dem Punkt (0,0)
> annähere?
Nein, sondern weil jeder Punkt auf der x-Achse die feste y-Koordinate 0 hat.
> Anders gefragt: Wenn ich jetzt P gegen (0,1)
> laufen lassen würde, würde ich wieder x gegen 0 laufen
> lassen und y=1 setzen? Hab ich das soweit richtig
> verstanden?
Nun, ich würde gern sehen, wie du dich, auf der x-Achse laufend, dem Punkt (0/1) nähern möchtest. Du wirst nie dorthin kommen 
Aber natürlich kannst du dich mit deinem Vorschlag auf der Geraden y=1 dem Punkt (0/1) nähern.
> Bei der b) verhät es sich ja wie bei a), nur aus
> y-Richtung, nehme ich an?
Ja. Alle Punkte, die auf der y-Achse liegen, haben die x-Koordinate Null.
> Zum Schluss noch die Frage zur c):
> Da y=tx, setze ich ich das also direkt ein, damit ist
> meine Funktion nur noch von x abhängig, da t ja konstant
> ist. Warum lasse ich x gegen 0 laufen? Ich nehme stark an,
> weil der x-Wert des Punktes P 0 ist?
Ja. Die Gerade y=t*x ist ja eine Gerade durch den Ursprung mit Anstieg t und für x=0 landest du im Ursprung.
> Wieder anders gefragt:
> Wenn ich P gegen (1,0) laufen lassen würde, dann dann
> würde ich alles genau wie jetzt machen, nur lasse ich dann
> x gegen 1 laufen, oder?
Wiederum: Die Gerade y=t*x läuft für [mm] t\ne0 [/mm] nicht durch den Punkt (1/0), daher funktioniert das nicht. Wenn du dich einem Punkt nähern möchtest musst du wohl oder übel einen Weg beschreiten, der den Punkt enthält. Für dein Beispiel (1/0) würde sich zB y=t*(x-1) eignen.
Gruß RMix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Mi 06.08.2014 | | Autor: | Manu3911 |
Danke erstmal für deinen coolen Plot! Da kann man sich mal was darunter vorstellen!
Ok, dass ich eine Gerade brauche, auf der der Punkt liegt, ist mir iwie klar, aber daran hab ich vorhin überhaupt nicht gedacht...
Der Punkt (2,1) würde doch auf der Geraden y=tx liegen, oder? (Also wenn ich t=0,5 setze?) Ich lasse jetzt also in Aufgabe c) P gegen (2,1) laufen. Dann habe ich wieder f(x, tx) und lasse x gegen 2 laufen, ist das richtig bzw. darf ich das so machen? Das Ergebnis wäre ja das gleiche wie vorhin, weil sich nach ausklammern das [mm] x^2 [/mm] rauskürzt und die Funktion dann nicht mehr von x abhängt, oder?
Gruß Manu
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Hi,
> Danke erstmal für deinen coolen Plot! Da kann man sich mal
> was darunter vorstellen!
Stimmt. Ein netter Service von rmix.
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> Ok, dass ich eine Gerade brauche, auf der der Punkt liegt,
> ist mir iwie klar, aber daran hab ich vorhin überhaupt
> nicht gedacht...
> Der Punkt (2,1) würde doch auf der Geraden y=tx liegen,
Warum wählst du gerade diesen Punkt?
Du sollst ja das Verhalten am Nullpunkt untersuchen.
> oder? (Also wenn ich t=0,5 setze?) Ich lasse jetzt also in
> Aufgabe c) P gegen (2,1) laufen. Dann habe ich wieder f(x,
> tx) und lasse x gegen 2 laufen, ist das richtig bzw. darf
> ich das so machen? Das Ergebnis wäre ja das gleiche wie
> vorhin, weil sich nach ausklammern das [mm]x^2[/mm] rauskürzt und
> die Funktion dann nicht mehr von x abhängt, oder?
Ja, klingt gut. Schreib das mal "formeltechnisch" auf. Kürze mal das x weg und betrachte, was über bleibt. Ist ein Grenzübergang noch notwendig?
>
> Gruß Manu
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Mi 06.08.2014 | | Autor: | Manu3911 |
Hallo,
also es bleibt doch dann $ [mm] \bruch{t^2-1}{t^2+1} [/mm] $ übrig. Ich hab leider keine Ahnung, was ein Grenzübergang ist. Könntest du mir das bitte erklären? Dann versuch ich dann rauszufinden, ob einer nötig ist :p
Gruß Manu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:37 Mi 06.08.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> also es bleibt doch dann [mm]\bruch{t^2-1}{t^2+1}[/mm] übrig. Ich
> hab leider keine Ahnung, was ein Grenzübergang ist.
Was passiert mit diesem Term, wenn sich der Punkt (x;t*x) auf der Geraden y=t*x dem Punkt (0;0) annähert? Also: wie ändert sich dieser Term, wenn x und y "darin" gegen Null gehen?
Gruß Abakus
> Könntest du mir das bitte erklären? Dann versuch ich dann
> rauszufinden, ob einer nötig ist :p
>
> Gruß Manu
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Mi 06.08.2014 | | Autor: | Manu3911 |
Da x und y in diesem Term nicht mehr vorkommen, würd ich sagen, dass er sich garnicht ändert?
Gruß Manu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:52 Mi 06.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Da x und y in diesem Term nicht mehr vorkommen, würd ich
> sagen, dass er sich garnicht ändert?
>
Richtig!
RMix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Mi 06.08.2014 | | Autor: | Manu3911 |
Ich rechne gerade noch ein paar Aufgaben zu dem Thema. Wieder mit der Aufgabenstellung c) betrachte ich jetzt die Funktion [mm] f(x,y) = \bruch{sin (xy)}{x^2+y^2} [/mm].
Dann habe ich für Aufgabe c) ja [mm] \limes_{P \to (0,0)} \bruch{sin(x^2t)}{x^2(1+t^2)} [/mm].
Leider weiß ich nicht, wie ich hier mit dem Sinus verfahren soll. Könntet ihr mir da noch einen Tipop geben bitte?
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:16 Mi 06.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Ich rechne gerade noch ein paar Aufgaben zu dem Thema.
> Wieder mit der Aufgabenstellung c) betrachte ich jetzt die
> Funktion [mm]f(x,y) = \bruch{sin (xy)}{x^2+y^2} [/mm].
> Dann habe
> ich für Aufgabe c) ja [mm]\limes_{P \to (0,0)} \bruch{sin(x^2t)}{x^2(1+t^2)} [/mm].
>
> Leider weiß ich nicht, wie ich hier mit dem Sinus
> verfahren soll. Könntet ihr mir da noch einen Tipop geben
> bitte?
>
Eine Möglichkeit ist, [mm] sin(t*x^2) [/mm] in eine MacLaurin-Reihe zu entwickeln:
[mm] $\sin(t*x^2)=\summe_{k=1}^{\infty}{(-1)^{k+1}*\br{t^{2*k-1}*x^{2*(2*k-1)}}{(2*k-1)!}}=t*x^2-\br{1}{6}*t^3*x^6+\br{1}{120}*t^5*x^{10}-+...$
[/mm]
RMix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:13 Do 07.08.2014 | | Autor: | abakus |
> > Ich rechne gerade noch ein paar Aufgaben zu dem Thema.
> > Wieder mit der Aufgabenstellung c) betrachte ich jetzt die
> > Funktion [mm]f(x,y) = \bruch{sin (xy)}{x^2+y^2} [/mm].
> > Dann
> habe
> > ich für Aufgabe c) ja [mm]\limes_{P \to (0,0)} \bruch{sin(x^2t)}{x^2(1+t^2)} [/mm].
>
> >
> > Leider weiß ich nicht, wie ich hier mit dem Sinus
> > verfahren soll.
Hallo,
ist dir der Grenzwert
[mm] \lim_{x\rightarrow0} \frac{sin(x)}{x}=1 [/mm] bekannt?
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:32 Do 07.08.2014 | | Autor: | Manu3911 |
Vielen Dank für eure Hilfe! Mir ist es dann gestern Abend vorm einschlafen eingefallen... wenn ich sin(x) als Potenzreihe schreibe, dann erhalte ich für meine funktion als Grenzwert [mm] \bruch{t}{1+t^2} [/mm].
Gruß Manu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:56 Do 07.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank für eure Hilfe! Mir ist es dann gestern Abend
> vorm einschlafen eingefallen... wenn ich sin(x) als
> Potenzreihe schreibe, dann erhalte ich für meine funktion
> als Grenzwert [mm]\bruch{t}{1+t^2} [/mm].
das Ergebnis ist korrekt. Man hätte übrigens auch
[mm] $\lim_{x \to 0}\frac{\sin(x^2*t_0)}{x^2}=t_0*\lim_{x \to 0}\frac{\sin(x^2*t_0)}{x^2*t_0}=t_0*\lim_{y \to 0} \frac{\sin(y)}{y}=t_0*\sin'(0)=t_0*\underbrace{\cos(0)}_{=1}=t_0$
[/mm]
dafür rechnen können. Beachte dabei, dass, wenn die Ableitung an einer
Stelle existiert, dann zudem jede einseitige Ableitung an dieser Stelle
existiert und die einseitigen Ableitungen den gleichen Wert wie die Ableitung
selbst an dieser Stelle haben. (Das ist deswegen interessant, weil ich oben
ja [mm] $y=t_0*x^2$ [/mm] substituiert habe, und $y [mm] \to [/mm] 0$ für [mm] $t_0 [/mm] > 0$ bedeutet
dann $0 < y [mm] \to 0\,.$ [/mm] Nebenbei: Den Fall [mm] $t_0=0$ [/mm] hätte ich zuerst untersucht...)
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:38 Do 07.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Manu,
> Ich rechne gerade noch ein paar Aufgaben zu dem Thema.
> Wieder mit der Aufgabenstellung c) betrachte ich jetzt die
> Funktion [mm]f(x,y) = \bruch{sin (xy)}{x^2+y^2} [/mm].
> Dann habe
> ich für Aufgabe c) ja [mm]\limes_{P \to (0,0)} \bruch{sin(x^2t)}{x^2(1+t^2)} [/mm].
sei ein bisschen genauer in Deiner Notation (auch, wenn der Aufgabensteller
es bei der Notation [mm] $\lim_{P \to (0,0)}$ [/mm] anscheinend auch nicht so genau nimmt;
aber er könnte es mit einem Zusatz rechtfertigen, warum er das so schreibt,
oder er sagt, dass sich diese Notation mit den folgenden Aufgaben rechtfertigt):
Für [mm] $P=(x,t_0 [/mm] x)$ (ich schreibe lieber [mm] $t_0$ [/mm] anstatt anstatt [mm] $t\,,$ [/mm] das macht die
"Festheit" des Parameters deutlicher) folgt
[mm] $\lim_{x \to 0} f(P)=\lim_{x \to 0}\frac{\sin(x*(t_0\,x))}{{x^2+{t_0\,x}^2}}=\lim_{x \to 0}\frac{\sin({x}^2*t_0)}{x^2*(1+{t_0}^2)}$
[/mm]
Das kannst Du als
[mm] $=\frac{1}{(1+{t_0}^2)}*\lim_{x \to 0}\frac{\sin(x^2*t_0)}{x^2}$
[/mm]
schreiben.
> Leider weiß ich nicht, wie ich hier mit dem Sinus
> verfahren soll.
Es gibt mehrere Möglichkeiten:
1.) Du kannst
[mm] $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}=1$
[/mm]
benutzen. (Den Vorschlag hast Du ja schon bekommen!). Das könnte man
mit de l'Hôpital beweisen, oder man erkennt
[mm] $1=\cos(0)=\sin\,'(0)=\lim_{x \to 0} \frac{\sin(0+x)-\sin(0)}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\,.$
[/mm]
Um das oben verwenden zu können:
[mm] $\frac{\sin(x^2*t_0)}{x^2}=t_0*\frac{\sin(x^2*t_0)}{x^2*t_0}\,.$
[/mm]
2.) Du kannst auch direkt de L'Hôpital auf obigen Ausdruck anwenden, weil...?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 Mi 06.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Danke erstmal für deinen coolen Plot! Da kann man sich mal
> was darunter vorstellen!
Naja, so richtig eigentlich auch nicht. Der Spalt, den man da sieht, ist nur durch die Gitterweite bedingt und eigentlich nicht vorhanden.
> Ok, dass ich eine Gerade brauche, auf der der Punkt liegt,
> ist mir iwie klar, aber daran hab ich vorhin überhaupt
> nicht gedacht...
> Der Punkt (2,1) würde doch auf der Geraden y=tx liegen,
> oder? (Also wenn ich t=0,5 setze?) Ich lasse jetzt also in
> Aufgabe c) P gegen (2,1) laufen. Dann habe ich wieder f(x,
> tx) und lasse x gegen 2 laufen, ist das richtig bzw. darf
> ich das so machen? Das Ergebnis wäre ja das gleiche wie
> vorhin, weil sich nach ausklammern das [mm]x^2[/mm] rauskürzt und
> die Funktion dann nicht mehr von x abhängt, oder?
Ja, das Ergebnis wäre ident, allerdings darfst du im Gegensatz zu vorhin für t ausschließlich t=0.5 einsetzen, den damit erhältst du die einzige Gerade durch den Ursprung, welche durch (2/1) geht - es ist also nicht besonders sinnvoll, hier eine Variable t zu benutzen. Und du bekommst als "Grenzwert" 15/17. Das ist natürlich genau der Funktionswert f(2,1) und er ist eindeutig, denn schließlich handelt es sich bei diesem Punkt um keine Singularität. Der "Grenzwert" muss also immer der gleiche sein, egal auf welchem Weg du dich diesem Punkt näherst.
Du kannst das gerne ausprobieren. Alle Geraden, welche durch (2/1) laufen haben die Gleichung y=t*x+1-2*t. Wenn du damit den "Grenzübergang" durchführst, müsste sich immer und unabhängig von t der Wert 15/17 einstellen.
Gruß RMix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:19 Mi 06.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Man bestimme [mm]\limes_{P \to (0,0)}f(x,y) [/mm], wenn sich P
> a) längs der x-Achse
> b) längs der y-Achse
> c) der Geraden y=tx, t=const. bewegt.
> [mm]f(x,y) = \bruch{y^2-x^2}{x^2+y^2}[/mm]
> Hallo,
>
> ich hab hier eigentlich gar keine Ahnung, wie ich an die
> Grenzwertaufgaben herangehe und unser Skript ist in der
> Hinsicht auch sehr dürftig.
> Meine Frage ist erstmal, was der Unterschied ist, ob ich
> nun längs der x- oder der y-Achse an (0,0) herangehe?
> Ich weiß, dass eine Funktion, die nur von einer Variablen
> abhängt, an einer Stelle 2 Grenzwerte haben kann, wenn man
> einmal von "links" und einmal von "rechts" sich dem Punkt
> nähert, aber wie mache ich das hier?
Nun, da gibts eben "bestenfalls" zwei unterschiedliche Werte, weil man sich auf einer Geraden einer Stelle nur von zwei Richtungen her nähern kann.
Hier hast du eine Fläche und kannst dich einem Punkt auf unendlich vielen unterschiedlichen Pfaden nähern und dementsprechend viele Grenzwerte kann (muss es aber nicht) geben. Deine Aufgabe ist ein schönes Beispiel, bei dem jeder Wert in [-1; 1] als Grenzwert auftreten kann, je nachdem auf welchem Weg man sich dem Ursprung nähert.
Bei Aufgabe c) gehts beispielsweise um [mm] $\limes_{x\rightarrow{0}}\br{(t*x)^2-x^2}{x^2+(t*x)^2}=...$, [/mm] wobei hier a) und b) für $t=0$ bzw. [mm] $t\rightarrow\infty$ [/mm] inkludiert sind.
Nachstehend ein plot der Fläche
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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