Grenzwert finden < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:51 So 17.02.2008 | | Autor: | diecky |
| Aufgabe | Finden Sie alle [mm] x\in\IR, [/mm] für die die Potenzreihe konvergiert:
[mm] \summe_{k\in\IN}^{}(-1)^{k} \bruch{x^{k}k}{2^{k}} [/mm] |
Ich hab da mal ne Frage ob ich die Lösung richtig erdacht habe oder sie doch falsch ist. Bin mir nämlich nicht so sicher ob ich hier das Quotientenkriterium anwenden muss oder doch lieber das Vergleichskriterium?!
Habs mal mit dem ersten probiert:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{2^{k}}{(-1)^{k}x^{k}k}\bruch{(-1)^{k+1}x^{k+1}(k+1)}{2^{k+1}}|
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{k}\bruch{x(k+1)}{2} [/mm] = [mm] \bruch{(k+1)}{k}\bruch{x}{2} [/mm]
für k gegen unendlich geht der Term gegen [mm] \bruch{|x|}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}|x|
[/mm]
Für die Konvergenz gilt nach dem Kriterium [mm] \delta<1, [/mm] d.h.
[mm] \bruch{1}{2}|x| [/mm] < 1 <=> |x| < 2
=> [mm] x\in(-2,2)
[/mm]
Die Potenzreihe wäre also auf dem Intervall von -2 bis 2 konvergent.
Irgendwie bin ich mir absolut nicht sicher ob mans so überhaupt macht?!
Wäre für eure Hilfe dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:15 So 17.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Finden Sie alle [mm]x\in\IR,[/mm] für die die Potenzreihe
> konvergiert:
>
> [mm]\summe_{k\in\IN}^{}(-1)^{k} \bruch{x^{k}k}{2^{k}}[/mm]
Hallo Diecky,
ich denke, dein Vorgehen ist korrekt. Dir ist beim Kürzen lediglich der Faktor -1 durch die Lappen gegangen, was aber wegen des Betrags keine Rolle spielt.
Ich wollte ursprünglich ausnutzen, dass die zugrunde liegende Folge alternierend ist (und man dann nur zeigen muss, dass sie Nullfolge ist), aber für negative x gilt das nicht mehr.
Viele Grüße
Abakus
> Ich hab
> da mal ne Frage ob ich die Lösung richtig erdacht habe oder
> sie doch falsch ist. Bin mir nämlich nicht so sicher ob ich
> hier das Quotientenkriterium anwenden muss oder doch lieber
> das Vergleichskriterium?!
>
> Habs mal mit dem ersten probiert:
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{2^{k}}{(-1)^{k}x^{k}k}\bruch{(-1)^{k+1}x^{k+1}(k+1)}{2^{k+1}}|[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{k}\bruch{x(k+1)}{2}[/mm] =
> [mm]\bruch{(k+1)}{k}\bruch{x}{2}[/mm]
> für k gegen unendlich geht der Term gegen [mm]\bruch{|x|}{2}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}|x|[/mm]
>
> Für die Konvergenz gilt nach dem Kriterium [mm]\delta<1,[/mm] d.h.
> [mm]\bruch{1}{2}|x|[/mm] < 1 <=> |x| < 2
> => [mm]x\in(-2,2)[/mm]
>
> Die Potenzreihe wäre also auf dem Intervall von -2 bis 2
> konvergent.
> Irgendwie bin ich mir absolut nicht sicher ob mans so
> überhaupt macht?!
> Wäre für eure Hilfe dankbar!
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