Grenzwert gleich e < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:37 Do 17.08.2006 | | Autor: | sn0opy22 |
| Aufgabe | Zu zeigen ist, dass:
$e= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1+1/n)^n$ [/mm] |
Hallo zusammen,
ich rechne mal wieder ein Wenig für mich selbst, was ja meistens im Chaos endet aber naja geschlagen geb ich mich nicht. Bin auf einer Seite auf die obige Formel gestoßen, kann sie aber für mich nicht nachvollziehen.
Hier mal meine Beweisführung:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1+1/n)^n
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] exp(n*ln(1+1/n))
= [mm] exp(\infty*ln(1)) [/mm]
mit 1/n -> 0
= exp(0) = [mm] e^0 [/mm] = 1
Also wo ist mein Denkfehler ? Weil eigentlich sollte die zu zeigende Gleichung stimmen.
Vielen Dank für eure Hilfe,
Gruß Olli
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:01 Do 17.08.2006 | | Autor: | Palin |
Ok ich versteh nicht ganz wie du von der 1. zur 2. Zeile kommst.
normal ist
a = [mm] b^n
[/mm]
=> [mm] log_{b}a=n [/mm]
Wenn ich mich grad nicht vertuhe hab schon ein paar Bier getrunken.
Ich glaube den Beweis das lin [mm] (1+1/n)^n [/mm] =e ist kannst du am besten über Folgen machen.
Hat Euler jedenfals so geaccht bzw wurd nach ihm benant.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 05:03 Do 17.08.2006 | | Autor: | sn0opy22 |
Hmm, könnte sein ,dass da der Fehler steckt.
Normal kann man ja g(x)^(h(x)) als exp(h(x)*ln(g(x)) ausdrücken.
Aber könnte sein, dass 1+1/n ne verschachtelte Funktion ist und es deswegen nicht so geht.
Ich probiers mal mit deinem Ansatz, thx.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:27 Do 17.08.2006 | | Autor: | sn0opy22 |
Gnaa Loddar, ich danke dir !! Ich hab schon lange nicht mehr so schöne Mathematik gesehen :))))) (liegt wahrscheinlich dran, weil ichs selbst versuch :))
So ich hoffe ich versau den Run jetzt nicht:
[mm]exp[\limes_{n\rightarrow\infty} n*ln(1+1/n)][/mm]
wegen der Stetigkeit der e-Funktion !
[mm]exp[\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{ln(n+1)-ln(n)}{\bruch{1}{n}}][/mm]
umgeformt, auf den gleichen Nenner gebracht zeigt [mm]0/0[/mm]
ergo [mm]f(x)=0=g(x)=0[/mm] , [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{f(x)}{g(x)}=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{f'(x)}{g'(x)}[/mm]
macht :
[mm]exp[ \bruch{- \bruch{1}{n*(n+1)}}{- \bruch{1}{n^2}} ][/mm]
umgeformt:
[mm] exp[ \bruch{n}{n+1}] [/mm]
und dann siehts man schon, nochmals abgeleitet:
[mm]exp[1] = e[/mm]
Hab meinen Fehler mir auch vorhin in der Bahn nochmal überlegt. Unendlich ist ja keine explizite Zahl, die ich mal null nehmen kann, also gings so nicht.
Ich danke dir aber für diese herrliche Komposition Loddar ;)
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Allerdings machst Du dann einen falschen Schluss mit [mm] $\infty*0 [/mm] \ = \ 0$.
Grenzwertsatz nach de l'Hospital