Grenzwert komplexe Reihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:14 Sa 01.06.2013 | | Autor: | Calculu |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: Für [mm] f(z)=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z^{k}}{(k+1)!} [/mm] gilt [mm] f(z)=\bruch{e^{z}-1}{z} [/mm] |
So, ich hab zwei Ansätze, komme aber nicht richtig weiter:
1) [mm] f(z)=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{z^{k}}{(k+1)!} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{(k+1)}* \bruch{z^{k}}{k!}
[/mm]
Aus der Vl weiß ich, dass [mm] exp(z)=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z^{k}}{k!} [/mm] ist. Aber was mach ich mit dem [mm] \bruch{1}{(k+1)} [/mm] ???
ODER
2) [mm] f(z)=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z^{k}}{(k+1)!} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z^{(k+1)-1}}{(k+1)!} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{z}\bruch{z^{k+1}}{(k+1)!} [/mm] = [mm] \bruch{1}{z}* \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z^{k+1}}{(k+1)!} [/mm]
Aber wie zeige ich jetzt, dass [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z^{k+1}}{(k+1)!} [/mm] = [mm] e^{z}-1 [/mm] ???
Vielen Dank für die Hilfe!
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> Zeigen Sie: Für [mm]f(z)=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z^{k}}{(k+1)!}[/mm]
> 2) Aber wie zeige ich jetzt, dass $ [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z^{k+1}}{(k+1)!} [/mm] $ = $ [mm] e^{z}-1 [/mm] $ ???
Mittels Indexverschiebung
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z^{k+1}}{(k+1)!} $=\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{z^{k}}{k!} [/mm] $.
kamaleonti
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Sa 01.06.2013 | | Autor: | Calculu |
Hm, die Indexverschiebung als solches versteh ich, aber wie sehe ich nun, dass ich noch 1 subtrahieren muss, wenn mein k nicht von 0 sonder von 1 läuft?
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Hallo Calculu,
> Hm, die Indexverschiebung als solches versteh ich, aber wie
> sehe ich nun, dass ich noch 1 subtrahieren muss, wenn mein
> k nicht von 0 sonder von 1 läuft?
Durch die Indexverschiebung beginnt die Reihe bei dem Index k=1.
Die Exponentialreihe beginnt aber mit dem Index k=0.
Daher ist bei der gegebenen Reihe 1 zu subtrahieren.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 Sa 01.06.2013 | | Autor: | Calculu |
Gilt das immer oder muss ich irgendwie die 0 einsetzen, also so irgendwie:
[mm] \bruch{z^{0}}{(0)!} [/mm] =1 ???
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Hallo Calculu,
> Gilt das immer oder muss ich irgendwie die 0 einsetzen,
> also so irgendwie:
>
> [mm]\bruch{z^{0}}{(0)!}[/mm] =1 ???
Natürlich musst Du das Glied der Expontentialreihe mit dem Index 0 subtrahieren.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:05 Sa 01.06.2013 | | Autor: | Calculu |
Ok, dann hab ichs verstanden. Ich danke euch allen, die mir geholfen haben!!!
Schönen Sonntag noch 
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