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| Aufgabe | | Berechne [mm] \limes_{z\rightarrow\infty} [/mm] P(z), wobei P: [mm] \IC \to \IC, [/mm] P(z) = [mm] a_nz^{n} [/mm] + .. + a_1z + [mm] a_0 \not= [/mm] 0 |
Hallo. Ich wüsste nicht wie ich die Aufgabe lösen sollte, wenn der Imaginärteil der z [mm] \in \IC [/mm] NICHT 0 wäre. Falls das Möglich wäre, gäbe es sehr viele verschiedene Fälle, so vermute ich.
Andernfalls, wenn Im(z) = 0 für alle z [mm] \in \IC, [/mm] ist es wirklich nicht schwer..
Ist es also möglich, dass hier auch komplexe Zahlen gemeint sind, dessen Imaginärteil nicht 0 ist? Falls ja, wie geht man dann ran?
Grüße, kullinarisch
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moin kulli,
Ich würde dir hier empfehlen Real- und Imaginärteil getrennt zu betrachten.
Der Satz dazu sah in etwa so aus:
Sei $f : [mm] \IC \to \IC$ [/mm] eine Funktion.
Dann gilt [mm] $\limes_{z \to \infty} [/mm] f(z) = c [mm] \in \IC \gdw \limes_{z \to \infty} [/mm] Re(f(z)) = Re(c)$ und [mm] $\limes_{z \to \infty} [/mm] Im(f(z)) = Im(c)$.
Also du betrachtest bei deiner Funktion Real- und Imaginärteil komplett getrennt und kannst dann wahrscheinlich ähnliche Vorgehensweisen anwenden wie wenn der Imaginärteil 0 wäre.
lg
Schadow
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:12 So 08.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Ich verrate es Dir:
$ [mm] \limes_{z\rightarrow\infty} [/mm] $ |P(z)|= [mm] \infty.
[/mm]
Zeige also: zu jedem c>0 gibt es ein r=r(c)>0 mit:
|P(z)|>c für |z|>r.
FRED
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Danke euch beiden. Ich denke es macht keinen Unterschied ob ich nun den Betrag oder getrennt Imaginärteil und Realteil für z [mm] \to \infty [/mm] betrachte. Was mich stört ist folgendes: Angenommen ich zeige nun, dass der Betrag oder Re und Im gegen unendlich geht. Wie soll ich denn hieraus die Schlussfolgerung ziehen, dass das Polynom gegen unendlich geht? Komplex Zahlen lassen sich doch nicht anordnen und eine Aussage wie P(z) [mm] \to \infty, [/mm] z [mm] \to \infty [/mm] ist doch gewissermaßen eine Anordnung, denn dann könnte ich doch sagen, dass P(z) irgendwann größer als eine bestimmte komplexe Zahl wäre.
Also soll eigentlich nur gezeigt werden, dass der Betrag gegen unendlich geht? Dies ist ja genau der Fall, wenn Re oder Im gegen unendlich geht.
Ist eine Aussage wie [mm] \limes_{z\rightarrow\infty} [/mm] P(z) dann überhaupt definiert?
Grüße, kulli
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:10 So 08.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] z-->\infinity [/mm] oder [mm] |z|->\infinity [/mm] bedeutet einfach dasselbe.
gruss leduart
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Hallo, da bin ich ja beruhigt!
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