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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:30 Do 01.12.2016 | | Autor: | Dom_89 |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Grenzwert:
[mm] \limes_{n\rightarrow\ 0} \bruch{\integral_{0}^{x}{sin (t) dt}}{x^{2}} [/mm] |
Hallo,
die o.g. Aufgabe wurde heute mit Lösung vorgestellt. Nachfolgend einmal der erste Teil:
[mm] \limes_{n\rightarrow\ 0} \bruch{\integral_{0}^{x}{sin (t) dt}}{x^{2}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\ 0} \bruch{[- cos (x)]}{x^{2}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\ 0} \bruch{- cos (x) + 1}{x^{2}}
[/mm]
* An der eckigen Klammer steht natürlich noch das Intervall 0 und x
=> Ich habe es nun so verstanden, dass im ersten Schritt die Ableitung im Zähler gebildet wird und immer ein Vorzeichenwechsel stattfindet => + sin (x) => - cos (x).
Allerdings ist mir dann nicht klar, warum im zweiten Schritt die eckige Klammer verschwindet und ich "+1" schreiben kann/muss?
Auch verstehe ich leider nicht, warum aus einer Funktion von t aufeinmal eine Funktion von x werden kann?
Im zweiten Lösngsteil wurden dann noch folgende Schritte gemacht:
[mm] \limes_{n\rightarrow\ 0} \bruch{sin (x)}{2x} [/mm] =
[mm] \limes_{n\rightarrow\ 0} \bruch{cos (x)}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
=> Hier ist mir leider nicht der Zusammenhang von "ersten Lösungsteil" zum "zweiten Lösungsteil" klar.
Für mein Verständnis könnte ich doch einfach das Integral nicht beachten und dann den "normalen" Bruch unabhängig voneinander ableiten!?
Ich hoffe, dass ihr mir hier ein paar Erklärungen zum besseren Verständnis geben könnt.
Vielen Dank
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Hallo,
wird der Grenzwert für $ n [mm] \to [/mm] 0$ oder $ x [mm] \to [/mm] 0 $ gesucht?
> Berechnen Sie den Grenzwert:
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\ 0} \bruch{\integral_{0}^{x}{sin (t) dt}}{x^{2}}[/mm]
>
> Hallo,
>
> die o.g. Aufgabe wurde heute mit Lösung vorgestellt.
> Nachfolgend einmal der erste Teil:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\ 0} \bruch{\integral_{0}^{x}{sin (t) dt}}{x^{2}}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\ 0} \bruch{[- cos (x)]}{x^{2}}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\ 0} \bruch{- cos (x) + 1}{x^{2}}[/mm]
>
> * An der eckigen Klammer steht natürlich noch das
> Intervall 0 und x
>
> => Ich habe es nun so verstanden, dass im ersten Schritt
> die Ableitung im Zähler gebildet wird und immer ein
> Vorzeichenwechsel stattfindet => + sin (x) => - cos (x).
Nein. Bist du mit Integralrechnung vertraut?
>
> Allerdings ist mir dann nicht klar, warum im zweiten
> Schritt die eckige Klammer verschwindet und ich "+1"
> schreiben kann/muss?
Weil $ [mm] \integral_{0}^{x}{sin (t) dt} [/mm] = [mm] -\cos(x) [/mm] + 1 $.
>
> Auch verstehe ich leider nicht, warum aus einer Funktion
> von t aufeinmal eine Funktion von x werden kann?
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
>
> Im zweiten Lösngsteil wurden dann noch folgende Schritte
> gemacht:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\ 0} \bruch{sin (x)}{2x}[/mm] =
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\ 0} \bruch{cos (x)}{2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> => Hier ist mir leider nicht der Zusammenhang von "ersten
> Lösungsteil" zum "zweiten Lösungsteil" klar.
>
> Für mein Verständnis könnte ich doch einfach das
> Integral nicht beachten und dann den "normalen" Bruch
> unabhängig voneinander ableiten!?
>
> Ich hoffe, dass ihr mir hier ein paar Erklärungen zum
> besseren Verständnis geben könnt.
>
> Vielen Dank
Muss gleich los, ich schreib was zum zweiten Teil in Kürze, falls bis dahin niemand geantwortet hat.
LG,
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 Do 01.12.2016 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Dom_89!
Es gilt
[mm] $\int_{0}^{x}\sin(t)\mathrm{d}t=\left[-\cos(t)\right]_{0}^{x}=-\cos(x)-(-\cos(0))=-\cos(x)+1$.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:30 Fr 02.12.2016 | | Autor: | fred97 |
Zum 2. Teil: zu berechnen ist [mm] $\limes_{x \rightarrow\ 0} \bruch{- cos (x) + 1}{x^{2}} [/mm] $.
Zweimalige Anwendung von l'Hospital führt auf
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{sin (x)}{2x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{cos (x)}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] $
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 So 04.12.2016 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo,
vielen Dank für die Antworten!
Es wird der Grenzwert für x [mm] \to [/mm] 0 gesucht.
Mir ist noch nicht klar, warum [mm] \int_{0}^{x}\sin(t)\mathrm{d}t=\left[-\cos(t)\right]_{0}^{x} [/mm] gilt; speziell das Minus ist für mich nicht verständlich.
Die Ableitung von + sin(x) wäre doch eigentlich + cos(x) - oder ist das der falsche Denkansatz?
Viele Grüße
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Hallo,
f(x)=cos(x)
f'(x)=-sin(x)
steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 So 04.12.2016 | | Autor: | Dom_89 |
| Aufgabe | a)
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{\integral_{0}^{x}{sin (t) dt}}{x*e^x-x}
[/mm]
b)
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{\integral_{0}^{x}{e^t-e^{-t} dt}}{1- cos(x)} [/mm] |
Hallo,
dann möchte ich es mal an den o.g. Aufgaben selber probieren:
a)
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{\integral_{0}^{x}{sin (t) dt}}{x*e^x-x} [/mm] = [mm] \bruch{\left[-\cos(t)\right]_{0}^{x}}{x*e^x-x} [/mm] = [mm] \bruch{-\cos(x)+1}{x*e^x-x} [/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{sin(x)}{x*e^x+e^x-1} [/mm] = [mm] \bruch{cos(x)}{x*e^x+e^x+e^x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
b)
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{\integral_{0}^{x}{e^t-e^{-t} dt}}{1- cos(x)} [/mm] = [mm] \bruch{\left[-e^t+e^{-t}\right]_{0}^{x}}{1-cos(x)} [/mm] = [mm] \bruch{-e^t+e^{-t}+1}{1 - cos(x)} [/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{e^x-e^{-x}}{-sin(x)} [/mm] = [mm] \bruch{e^x-e^{-x}}{- cos(x)} [/mm] = - [mm] \bruch{2}{1} [/mm] = -2
Ist das so korrekt ?
Vielen Dank !!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 So 04.12.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
vorletzte Zeile ist falsch , in der letzten
[mm] \integral_{0}^{x}e^t-e^{-t} dt=e^t+e^{-t}|_0^x [/mm] an der Stelle 0 ist das 2!
(cos(x))'=-sin(x) also ist dein Nenner -sin(x) falsch danach hast du den Zähler falsch der ergäbe nicht 2 sondern 0!
Das Ergebnis ist dann aber nur im Vorzeichen falsch!
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:04 Do 08.12.2016 | | Autor: | Dom_89 |
Vielen Dank für die Hilfe - jetzt habe ich es auch gesehen und konnte es nachvollziehen !!!
Viele Grüße
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