Grenzwert mit Potenzreihenentw < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:50 So 11.07.2010 | | Autor: | mich1985 |
| Aufgabe |
[mm] \limes_{x\rightarrow0} \frac{x+2*sinh(2x)}{exp(x)*sinh(x)} [/mm] |
Hallo zusammen,
ich soll den Grenzwert von oben angeben. Eine Möglichkeit hierzu ist ja über die Potenzreihentwicklung:
[mm] \frac{x+2*sinh(2x)}{exp(x)*sinh(x)} [/mm] = [mm] \frac{x+2*(2x+\frac{8x^{3}}{3!}+\frac{25x^{5}}{5!}+...)}{(1+x+\frac{x^{2}}{2!}+...)*(x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+...)}
[/mm]
Leider komme ich von hier aus nicht weiter, da ich ja nicht wirklich etwas weg kürzen kann. Hat zufällig jemand einen Tipp für mich?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:37 So 11.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
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> [mm]\limes_{x\rightarrow0} \frac{x+2*sinh(2x)}{exp(x)*sinh(x)}[/mm]
>
> Hallo zusammen,
> ich soll den Grenzwert von oben angeben. Eine Möglichkeit
> hierzu ist ja über die Potenzreihentwicklung:
>
> [mm]\frac{x+2*sinh(2x)}{exp(x)*sinh(x)}[/mm] =
> [mm]\frac{x+2*(2x+\frac{8x^{3}}{3!}+\frac{\red{25}x^{5}}{5!}+...)}{(1+x+\frac{x^{2}}{2!}+...)*(x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+...)}[/mm]
wie kommst Du da zu [mm] $\red{25}$? [/mm] Es ist [mm] $(2x)^5=2^5x^5=32x^5\,.$
[/mm]
Wenn man bei sowas nicht weiter weiß, so hilft notfalls sicher de l'Hopital oder notfalls auch das Cauchyprodukt im Nenner vll. weiter. Aber hier geht es auch so noch relativ harmlos, denn:
Hier kann man auch so vorgehen (geht natürlich auch vollkommen analog bei Deinen Reihendarstellungen):
[mm] $$\frac{x+2*sinh(2x)}{exp(x)*sinh(x)}=\frac{1+4*\frac{\sinh(2x)}{2x}}{\exp(x)*\frac{\sinh(x)}{x}}\,.$$
[/mm]
Denn [mm] $\sinh(x)/x=1+\frac{x^{2}}{3!}+\frac{x^{4}}{5!}+...$ [/mm] kann man mit [mm] $\frac{x^{2}}{3!}+\frac{x^{4}}{5!}+... [/mm] = [mm] \mathcal{O}(x^2) \cap \hboxl{o}(x)$ [/mm] ($x [mm] \to [/mm] 0$) (vgl. auch nochmal ![[]](/images/popup.gif) die Definition der Landau-Symbole) abschätzen.
Es ergibt sich
[mm] $$\sinh(x)/x \to 1\;\;(x \to [/mm] 0)$$
und damit auch
[mm] $$\sinh(2x)/(2x) \to 1\;\;(x \to 0)\,.$$
[/mm]
Dein gesuchter Grenzwert sollte sich dann zu
[mm] $$(1+4)/(1*1)=5\,$$
[/mm]
ergeben.
Beste Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:37 So 11.07.2010 | | Autor: | mich1985 |
Danke!
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