Grenzwert mit Winkelfunktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:29 Mi 05.01.2011 | | Autor: | Selageth |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{x^3 + 2*x^4}{(1-cos(x)) * sin(x)} [/mm] |
Gesucht ist der Grenzwert. Da dies eine 0/0 Situation ist, habe ich versucht L'Hospital anzuwenden. Zuerst umgeformt, da (1-cos(x)) das gleiche wie sin(x) ist:
= [mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{x^3 + 2*x^4}{sin(x) * sin(x)}
[/mm]
bzw.
= [mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{x^3 + 2*x^4}{sin^2(x)}
[/mm]
Anschließend die Ableitungen, f'(x) und g'(x):
= [mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{3x^2 + 8x^3}{cos(x)*sin(x) + cos(x) * sin(x)}
[/mm]
Hier komme ich aber nicht weiter, vermutlich habe ich mich irgendwo vertan. Da sin(x) immer 0 wird, wenn x gegen 0 läuft, wäre der Nenner ungültig.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:34 Mi 05.01.2011 | | Autor: | Hans11 |
Hallo
Der Fehler liegt schon ganz am Anfang:
1-cos(x)=sin(x) ist keine Identität.
Gruß
Hans
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 Mi 05.01.2011 | | Autor: | Selageth |
Stimmt. Wie ich darauf gekommen bin das so umzuformen weiß ich selbst nicht mehr. Es muss aber eine Umformung geben, wenn ich stur mit L'Hospital drauf los gehe, kommt ja wieder nur eine unentscheidbare Situation heraus:
= [mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{x^3 + 2x^4}{(1-cos(x)) * sin(x)}
[/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{3x^2 + 8x^3}{(1+sin(x)) * sin(x) + (1-cos(x) * cos(x)}
[/mm]
= [mm] \bruch{0 + 0}{(1+0) * 0 + (0 * 1)}
[/mm]
= [mm] \bruch{0}{0}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:04 Mi 05.01.2011 | | Autor: | Hans11 |
Ja, das ist richtig.
Man kann allerdings nochmal dieselbe Regel anwenden.
(Und damit das Ableiten nicht zu umständlich wird, könnte man sin(2x)=2sin(x)cos(x) verwenden)
Gruß
Hans
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Hallo Selageth!
Man kann hier auch etwas anders vorgehen, um die Ableitungen einfacher zu gestalten:
[mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{x^3 + 2*x^4}{[1-\cos(x)] * \sin(x)} \ = \ \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\left(x^2 + 2*x^3\right)*x}{[1-\cos(x)] * \sin(x)} \ = \ \limes_{x\rightarrow 0}\left[\bruch{x^2 + 2*x^3}{1-\cos(x)}*\bruch{x}{\sin(x)}\right] \ = \ \bruch{\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{x^2 + 2*x^3}{1-\cos(x)}}{\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\sin(x)}{x}} \ = \ ...[/mm]
Der untere Grenzwert sollte bekannt sein.
Gruß vom
Roadrunner
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