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Hallo, folgenden Grenzwert soll ich bestimmen:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(\bruch{\bruch{\pi}{2}-arctan(x)}{tan(x)}), [/mm] x so, dass der nenner nicht null wird. Ich vermute, dass der Grenzwert existiert, nämlich die Zahl 0 (sagt man eigentlich auch, wenn die funktion bestimmt gegen undendlich konvergiert, dass der grenzwert existiert?). Ich komme aber bei dieser einen Aufgabe nicht weiter und grübel nun schon seit einer ganzen weile. Hat jemand einen kleinen Hinweis für mich?
vielen dank im voraus!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:54 Mi 16.10.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jessica,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Dieser Grenzwert existiert nicht. Das liegt an der Periodizität des Nennerterms [mm] $\tan(x)$ [/mm] , welcher in schöner Regelmäßigkeit alle Werte aus [mm] $\IR$ [/mm] annimmt.
Da der Zähler schnell gegen den Wert 0 strebt und der Nenner periodisch mit o.g. Eigenschacften ist, existiert der Gesamtgrenzwert nicht.
Gruß
Loddar
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Hi und danke für deine Antwort. Wie könnte ich das denn Formal zeigen, also dass der Grenzwert nicht existiert?
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Hallo,
> Hi und danke für deine Antwort. Wie könnte ich das denn
> Formal zeigen, also dass der Grenzwert nicht existiert?
Du könnntest dich an einem Widerspruchsbeweis versuchen. Das ist nicht weiter schwer, weil es darauf hinausläuft, dass der Tangens im Fall der Existenz des Grenzwerts keine periodische Funktion wäre, da er selbst einen Grenzwert für [mm] x->\infty [/mm] besäße.
Allerdings muss man doch nicht immer alles formal gezeigt haben, die Begründung von Loddar reicht hier völlig aus.
Gruß, Diophant
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> Hallo, folgenden Grenzwert soll ich bestimmen:
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> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\left(\bruch{\bruch{\pi}{2}-arctan(x)}{tan(x)}\right),[/mm]
> x so, dass der nenner nicht null wird. Ich vermute, dass
> der Grenzwert existiert, nämlich die Zahl 0 (sagt man
> eigentlich auch, wenn die funktion bestimmt gegen
> undendlich konvergiert, dass der grenzwert existiert?). Ich
> komme aber bei dieser einen Aufgabe nicht weiter und
> grübel nun schon seit einer ganzen weile. Hat jemand einen
> kleinen Hinweis für mich?
Hallo jessica123,
falls man die Stellen x mit tan(x)=0 auch zulassen würde,
so würde natürlich auch der Grenzwert nicht existieren.
Auch wenn man diese Stellen, wo der Bruch gar nicht
definiert wäre, auslässt, bleiben aber immer noch die
x-Werte in den Umgebungen dieser Tangens-Nullstellen
[mm] x_k=\pi/2+k*\pi [/mm] , für welche der Nenner beliebig kleine Werte
annehmen kann. Für Werte, die genügend nahe bei
diesen Nullstellen liegen, kann das Verhalten des Bruches
zumindest problematisch werden.
Um einen exakten Nachweis dafür zu erhalten, dass
kein Grenzwert existieren kann (wie Loddar schon
plausibel gemacht hat), könnte man versuchen, eine
ganz konkrete Zahlenfolge $\ [mm] _{k\in\IN}$ [/mm] zu konstruieren,
für welche z.B. gilt
[mm] $\limes_{k\to\infty}f(x_k)\ [/mm] =\ [mm] \infty$
[/mm]
Dabei würde ich von einem Ansatz folgender Form
ausgehen:
$\ [mm] x_k\ [/mm] =\ [mm] \frac{\pi}{2}+k*\pi+d_k\qquad (k\in\IN_0)$
[/mm]
Damit gilt wegen der [mm] \pi [/mm] - Periodizität der Tangensfunktion
und weil die arctan-Funktion streng monoton steigend ist:
$\ [mm] f(x_k)\ [/mm] =\ [mm] \bruch{\bruch{\pi}{2}-arctan(x_k)}{tan(x_k)}\ [/mm] =\ [mm] \bruch{\bruch{\pi}{2}-arctan(x_k)}{tan(\frac{\pi}{2}+d_k)}\ [/mm] >\ [mm] \bruch{\bruch{\pi}{2}-arctan((k+1)*\pi)}{tan(\frac{\pi}{2}+d_k)}$
[/mm]
(falls [mm] 0
Für jedes k ergibt der Zähler des letzten Terms
einen bestimmten positiven Wert. Nun wird es
(wegen des Verhaltens der Tangensfunktion in
der Umgebung ihrer Polstellen) möglich sein,
durch geeignete Definition von [mm] d_k [/mm] dafür zu sorgen,
dass beispielsweise $\ [mm] f(x_k)\ \ge\ [/mm] k$ für alle k .
Auf diese Weise kommt man zu einer Folge $\ [mm] _{k\in\IN}$
[/mm]
mit [mm] $\limes_{k\to\infty}f(x_k)\ [/mm] =\ [mm] \infty$ [/mm] , und die Existenz einer solchen
Folge zeigt natürlich, dass [mm] $\limes_{x\to\infty}f(x)$ [/mm] nicht existieren
kann.
Auf die Einzelheiten will ich hier jetzt gar nicht
näher eingehen.
LG , Al-Chw.
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