Grenzwert mit binom.Reihenentw < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berchnen Sie den Grenzwert unter Verwendung der binomischen Reihenentwicklung:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = [mm] \bruch{5(1+\bruch{x}{3})^{\bruch{4}{5}}-5-\bruch{4}{3}x}{3x^{2}} [/mm] |
Hallo,
2te Frage in so kurzer Zeit -> peinlich ;) ..
Also hier habe ich relativ wenig Plan muss ich zugeben. Meine Idee wäre gewesen: 2x de l'Hopital anwenden und dann den Ausdruck [mm] (1+\bruch{x}{3})^{-\bruch{6}{5}} [/mm] in eine binom. Reihe zu entwicklen. Die Sinnhaftigkeit dieser Aktion leuchtet mir jedoch nicht ganz ein. Bitte um Hilfe.
Lg, Andi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 Mo 04.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Warum entwickelst Du nicht
[mm] (1+\bruch{x}{3})^{\bruch{4}{5}}
[/mm]
in eine bin. Reihe ?
FRED
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Ok, dieser Ausdruck in eine binomische Reihe entwickelt sieht so aus:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \vektor{\bruch{x}{3} \\ k} (\bruch{x}{3})^{k}
[/mm]
Aber jetzt habe ich ein kleines Grundlagenproblem ;) wie entwickle ich von einer binom. Reihe den Grenzwert? Sprich ich kommen mit dem 3/4 über k nicht zurecht.
danke
lg, andi
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Ok, dieser Ausdruck in eine binomische Reihe entwickelt sieht so aus:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \vektor{\bruch{x}{3} \\ k} (\bruch{x}{3})^{k} [/mm]
Aber jetzt habe ich ein kleines Grundlagenproblem ;) wie entwickle ich von einer binom. Reihe den Grenzwert? Sprich ich kommen mit dem 3/4 über k nicht zurecht.
danke
lg, andi
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Argh, entschuldigung, jetzt habe ich mich 3x vertippt ...die binomische Reihe heißt natürlich
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \vektor{\bruch{4}{3} \\ k} (\bruch{x}{3})^{k} [/mm]
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Hallo,
Du weißt nun, dass
[mm] $\left(1+\frac{x}{3}\right)^{\frac{4}{5}} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty}\vektor{\frac{4}{5}\\k}*\left(\frac{x}{3}\right)^{k}$
[/mm]
Nun musst du die ersten drei Reihenglieder explizit ausrechnen!
Also, es ist
[mm] $\left(1+\frac{x}{3}\right)^{\frac{4}{5}} [/mm] = [mm] \vektor{\frac{4}{5}\\0}*x^{0} [/mm] + [mm] \vektor{\frac{4}{5}\\1}*x^{1} [/mm] + [mm] \vektor{\frac{4}{5}\\2}*x^{2} [/mm] + [mm] x^{3}*(...)$
[/mm]
Die ersten beiden Summanden bekommst du schnell mit den Regeln [mm] \vektor{r\\0} [/mm] = 1 und [mm] \vektor{r\\1}=r.
[/mm]
Für den dritten Binomialkoeffizienten solltest du mal ![[]](/images/popup.gif) hier schauen.
Achso, wohin führt das Ganze?: Du setzt dann deine oben berechnete Summe mit dem [mm] x^{3}*(...) [/mm] im Limes für [mm] \left(1+\frac{x}{3}\right)^{\frac{4}{5}} [/mm] ein, und wirst feststellen, dass sich die konstanten und linearen Terme rauskürzen, interessant ist also der Koeffizient vor dem quadratischen Term...
Grüße,
Stefan
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Ok, vielen Dank, ich glaube ich habe es jetzt.
Die ersten 3 Reihenglieder lauten:
1 + [mm] \bruch{4x}{15} [/mm] + [mm] \bruch{2x^{2}}{225}
[/mm]
Nachdem ich [mm] \left(1+\frac{x}{3}\right)^{\frac{4}{5}} [/mm] ersetzt habe, erhalte ich für den Grenzwert:
[mm] \bruch{10}{675} [/mm] ist das korrekt?
Muss ich hier, die Abweichung, die durch das ersetzen entsteht nicht berücksichtigen?
Wie weit dass ich die reihe entwicken muss, erkenne ich in diesem Fall an der Höhe des Grads des Nennerausdrucks?
lg, Andi
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Hallo,
> Ok, vielen Dank, ich glaube ich habe es jetzt.
>
> Die ersten 3 Reihenglieder lauten:
>
> 1 + [mm]\bruch{4x}{15}[/mm] + [mm]\bruch{2x^{2}}{225}[/mm]
Nach den Regeln auf Wikipedia erhalte ich für den dritten Summanden aber:
[mm] $-\frac{2}{25}*x^{2}$,
[/mm]
denn [mm] $\vektor{\frac{4}{5}\\2} [/mm] = [mm] \frac{\left(\frac{4}{5}\right)*\left(\frac{4}{5}-\right)}{2!}$. [/mm] Hast du dich vertan oder ich?
> Muss ich hier, die Abweichung, die durch das ersetzen
> entsteht nicht berücksichtigen?
> Wie weit dass ich die reihe entwicken muss, erkenne ich in
> diesem Fall an der Höhe des Grads des Nennerausdrucks?
Du musst keine Abweichungen berücksichtigen, weil keine da sind. Es gilt:
[mm] $\left(1+\frac{x}{3}\right)^{\frac{4}{5}} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty}\vektor{\frac{4}{5}\\ k}*\left(\frac{x}{3}\right)^{k} [/mm] = 1 + [mm] \frac{4}{15}*x [/mm] - [mm] \frac{2}{25}*x^{2} [/mm] + [mm] \sum_{k=3}^{\infty}\vektor{\frac{4}{5}\\ k}*\left(\frac{x}{3}\right)^{k} [/mm] = 1 + [mm] \frac{4}{15}*x [/mm] - [mm] \frac{2}{25}*x^{2} [/mm] + [mm] x^{3}*\sum_{k=3}^{\infty}\vektor{\frac{4}{5}\\ k}*\left(\frac{x}{3}\right)^{k-3}*\frac{1}{3^{3}}$.
[/mm]
Jetzt setzt du das in den Limes ein.
Und: Genau, du musst die Reihe soweit entwickeln, wie der Grad des Nennerausdrucks ist, weil uns interessiert ja der Koeffizient davor.
Grüße,
Stefan
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Ich glaube du hast das "3²" mit 25 zu multiplizieren vergessen und ich das Minus ;)
ok soweit so gut, wenn ich das Ganze jetzt in den Limes einsetze, dann bleibt mir die Reihe im Limes stehen wie wird das dann gelöst?
Also bei mir sieht dann das Ganze wie folgt aus:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = [mm] \bruch{5(1 + \frac{4}{15}\cdot{}x - \frac{2}{225}\cdot{}x^{2} + x^{3}\cdot{}\sum_{k=3}^{\infty}\vektor{\frac{4}{5}\\ k}\cdot{}\left(\frac{x}{3}\right)^{k-3}\cdot{}\frac{1}{3^{3}})-5-\bruch{4}{3}x}{3x^{2}}
[/mm]
Gekürzt:
[mm] -\bruch{10}{675} [/mm] * [mm] \bruch{5*x^{3}\cdot{}\sum_{k=3}^{\infty}\vektor{\frac{4}{5}\\ k}\cdot{}\left(\frac{x}{3}\right)^{k-3}\cdot{}\frac{1}{3^{3}}}{675}
[/mm]
Leider habe ich jetzt keine Ahnung was ich mit der Reihe machen mus :(
Danke,
Lg Andi
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Hallo,
> Ich glaube du hast das "3²" mit 25 zu multiplizieren
> vergessen und ich das Minus ;)
peinlich, peinlich - du hast recht  !
> ok soweit so gut, wenn ich das Ganze jetzt in den Limes
> einsetze, dann bleibt mir die Reihe im Limes stehen wie
> wird das dann gelöst?
>
> Also bei mir sieht dann das Ganze wie folgt aus:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] = [mm]\bruch{5(1 + \frac{4}{15}\cdot{}x - \frac{2}{225}\cdot{}x^{2} + x^{3}\cdot{}\sum_{k=3}^{\infty}\vektor{\frac{4}{5}\\ k}\cdot{}\left(\frac{x}{3}\right)^{k-3}\cdot{}\frac{1}{3^{3}})-5-\bruch{4}{3}x}{3x^{2}}[/mm]
>
> Gekürzt:
>
> [mm]-\bruch{10}{675}[/mm] *
> [mm]\bruch{5*x^{3}\cdot{}\sum_{k=3}^{\infty}\vektor{\frac{4}{5}\\ k}\cdot{}\left(\frac{x}{3}\right)^{k-3}\cdot{}\frac{1}{3^{3}}}{675}[/mm]
Nein, das ist falsch. Wieso verschwindet das [mm] x^{2} [/mm] denn bei dir plötzlich? Du kürzt doch hoffentlich nicht aus SUMMEN? 
So macht man's:
$= [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{-\frac{2}{45}\cdot{}x^{2} + 5*x^{3}\cdot{}\sum_{k=3}^{\infty}\vektor{\frac{4}{5}\\ k}\cdot{}\left(\frac{x}{3}\right)^{k-3}\cdot{}\frac{1}{3^{3}}}{3x^{2}} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{-\frac{2}{45}\cdot{}x^{2}}{3*x^{2}} [/mm] + [mm] \frac{5*x^{3}\cdot{}\sum_{k=3}^{\infty}\vektor{\frac{4}{5}\\ k}\cdot{}\left(\frac{x}{3}\right)^{k-3}\cdot{}\frac{1}{3^{3}}}{3x^{2}} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0} -\frac{2}{135} +\frac{5}{3}*x\cdot{}\sum_{k=3}^{\infty}\vektor{\frac{4}{5}\\ k}\cdot{}\left(\frac{x}{3}\right)^{k-3}\cdot{}\frac{1}{3^{3}}$
[/mm]
Und der rechte Summand geht für [mm] x\to [/mm] 0 offensichtlich gegen 0, weil die Reihe ja weiterhin konvergiert.
Grüße,
Stefan
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Was? Summe? ;D Spaß, wie peinlich x) naja , ist auch fast schon 1 :p
Hab sogar den Limes gerade eben nochaml falsch laufen lassen ;)
Also sprich, ist der Grenzwert dann:
[mm] -\bruch{2}{135} [/mm] ? ;)
Lg, Andi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:45 Di 05.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
Du sollst die Aufgabe zwar mit dieser Binomialkoeffizienzenmethode lösen, aber es spricht nichts dagegen, sich vorher oder hinterher mit L'Hopital davon zu überzeugen, wie das Ergebnis lauten muss, wie Du ja schon im Eingangspost erwähnt hast ^^;
Ich komme damit auch auf [mm] $-\bruch{2}{135}$.
[/mm]
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