Grenzwert mit mehreren Variab. < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:21 So 12.01.2014 | | Autor: | Phil92 |
Hallo zusammen,
ich verstehe noch nicht so ganz, wie man den Grenzwert einer Funktion mit mehreren Variablen bestimmt.
In der Uni sagte der Prof, wir sollen zuerst einer der beiden Variablen =0 setzen und den Grenzwert für die jeweils andere Variable bestimmen.
Genau das gleiche dann für die jeweils andere Variable, die man daraufhin =0 setzt.
Dann habe ich zwei Grenzwerte, welche allerdings nur gelten, wenn ich mich exakt an der X oder Y Achse bewege.
Wie bekomme ich nun heraus, ob dieser Grenzwert (sofern bei beiden Einzelgrenzwerten jeweils der gleiche Wert herauskam), nun auch für die Gesamtfunktion gilt?
Der Prof meinte, man solle einfach y=k*x (k=Konstante) setzen und nochmals einen GW bilden. Da komme ich aber nicht weiter. Muss ich dann auch noch x=k*y bilden?
Als Beispiel: Bestimmen SIe den Grenzwert der Funktion f(x,y) = [mm] \bruch{x*y*cos(y)}{3x^{2}+y^{2}} [/mm] für [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)} [/mm] f(x,y).
Ich habe zuerst y=0 gesetzt und bekomme daraufhin für [mm] \limes_{(x,0)\rightarrow(0,0)} [/mm] f(x,0)=0.
Danach setzte ich x=0 und erhalte [mm] \limes_{(0,y)\rightarrow(0,0)} [/mm] f(0,y)=0.
Wie mache ich nun weiter?
MfG Philipp
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Hiho,
> ich verstehe noch nicht so ganz, wie man den Grenzwert einer Funktion mit mehreren Variablen bestimmt.
Das ist im Allgemeinen auch gar nicht so leicht.
Erstmal vorweg: Deine ganzen Beschreibungen scheinen darauf hinauszulaufen, dass du die Konvergenz gegen (0,0) meinst. Das setze ich jetzt mal voraus.
> Dann habe ich zwei Grenzwerte, welche allerdings nur gelten, wenn ich mich exakt an der X oder Y Achse bewege.
Korrekt. Und nur in einem Fall hast du dann eine Aussage über die Existenz des Gesamtgrenzwerts. Nämlich dann, wenn die beiden Grenzwerte unterschiedlich sind. Dann hast du zwei Folgen gefunden, die beide gegen (0,0) konvergieren, aber die Funktionswerte konvergieren gegen unterschiedliche Werte. Also existiert der Gesamtgrenzwert nicht.
> Wie bekomme ich nun heraus, ob dieser Grenzwert (sofern bei beiden Einzelgrenzwerten jeweils der gleiche Wert herauskam), nun auch für die Gesamtfunktion gilt?
Im Allgemeinen gar nicht.
> Der Prof meinte, man solle einfach y=k*x (k=Konstante)
> setzen und nochmals einen GW bilden. Da komme ich aber
> nicht weiter. Muss ich dann auch noch x=k*y bilden?
Auch da betrachtest du wieder nur spezielle Folgen und sofern da einmal verschiedene Grenzwerte herauskommen, weißt du wieder, dass der Gesamtgrenzwert nicht existiert.
Kommt da allerdings immer der selbe Wert raus, bist du noch kein Stück weiter.
Ist dir das klar?
Denn du musst es ja für alle Folgen $(x,y) [mm] \to [/mm] (0,0)$ zeigen, du hast es bisher nur für spezielle gezeigt.
> Als Beispiel: Bestimmen SIe den Grenzwert der Funktion f(x,y) = [mm]\bruch{x*y*cos(y)}{3x^{2}+y^{2}}[/mm] für [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}[/mm] f(x,y).
Sauberer wäre hier "für $(x,y) [mm] \to [/mm] (0,0)$", aber das nur am Rande.
> Ich habe zuerst y=0 gesetzt und bekomme daraufhin für
> [mm]\limes_{(x,0)\rightarrow(0,0)}[/mm] f(x,0)=0.
>
> Danach setzte ich x=0 und erhalte
> [mm]\limes_{(0,y)\rightarrow(0,0)}[/mm] f(0,y)=0.
>
> Wie mache ich nun weiter?
Betrachte mal die Folge $(x,y) [mm] \to [/mm] (0,0)$ mit x=y.
Was fällt dir auf? Was folgt daraus?
Wenn du die Aufgabe fertig hast, machen wir mal eine andere, damit du das Prinzip und die Probleme verstehst, die sich bei solchen Aufgaben ergeben.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 So 12.01.2014 | | Autor: | Phil92 |
Wenn ich y = x setze, erhalte ich als GW: [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
Deinen Ansatz habe ich verstanden ;)
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Hiho,
> Wenn ich y = x setze, erhalte ich als GW: [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Und was bedeutet das nun?
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 So 12.01.2014 | | Autor: | Phil92 |
...dass es keinen Gesamtgrenzwert gibt.
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Hiho,
> ...dass es keinen Gesamtgrenzwert gibt.
Dann versuch dich mal an [mm] $\bruch{x^4 + y^4}{x^2 + y^2}$
[/mm]
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 So 12.01.2014 | | Autor: | Phil92 |
Wenn wir wieder von einer Konvergenz gegen (0,0) ausgehen (sagt man das so?), dann bekomme ich immer 0 als Grenzwert, egal ob y = 0 oder x = 0 oder y = x oder x = y.
Demnach müsste diese Funktion in (0/0) einen GW von 0 besitzen.
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Hallo,
> Wenn wir wieder von einer Konvergenz gegen (0,0) ausgehen
> (sagt man das so?),
Ja, gemeint ist [mm]\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4+y^4}{x^2+y^2}[/mm]
> dann bekomme ich immer 0 als Grenzwert,
> egal ob y = 0 oder x = 0
Es genügt nicht, sich auf den Achsen dem Ursprung [mm](0,0)[/mm] zu nähern. Du musst dich auf jedem möglichen Wege annähern.
Im [mm]\IR[/mm] war das ja so, dass man nur rechts- und linksseitigen Limes hatte, also 2 Richtungen. Im [mm]\IR^2[/mm] hast du unendlich viele Richtungen.
Zum Beweis der Konvergenz reicht es nicht aus, 2 oder 3 oder endlich viele Richtungen zu betrachten ...
> oder y = x oder x = y.
Was soll das bedeuten?
>
> Demnach müsste diese Funktion in (0/0) einen GW von 0
> besitzen.
Nicht "demnach", aber es ist in der Tat so, dass [mm]\frac{x^4+y^4}{x^2+y^2}\longrightarrow 0[/mm] für [mm](x,y)\to (0,0)[/mm]
Bemühe die Grenzwertdefinition und schätze geschickt ab oder gehe zu Polarkoordinaten über, dann wird es sehr leicht ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 So 12.01.2014 | | Autor: | Phil92 |
Erst Mal vielen Dank für deine Hilfe.
Leider ist es so, dass wir dieses Thema "Grenzwerte bei mehreren Variablen" nur in einer einzigen Vorlesung besprochen hatten (45 Minuten) und dann direkt zur Stetigkeit gewechselt sind. Wir haben von unserem Prof nur diese "einfache" Berechnung gelernt, also in X und Y Richtung prüfen und evtl. auf einer linearen Achse y = x prüfen. Sachen, wie Polarkoordinaten haben wir garnicht erst angesprochen.
Ich denke Mal, er macht in seiner Klausur dann auch nur solche Aufgaben, wo bereits bei meinen oben beschriebenen drei Fällen eine Unstimmigkeit auftreten würde.
Weiter meinte er, dass - wenn man y = k*x einsetzt und prüft (wie auch immer...) - und dann KEINE Unstimmigkeit mit den anderen Grenzwerten (in X und Y Richtung) auftritt, dass die gesamte Funktion eben genau diesen Grenzwert besitzen würde. Wie das funktioniert, weiß ich auch nicht. Ich glaube, er meinte auch noch so etwas, von wegen "man prüft nur in einer bestimmten Umgebung und definiert nur für diese Umgebung einen Grenzwert - wie auch immer er das meint.
Ich danke dir trotzdem für deine Hilfe. Ich habs trotzdem besser verstanden, als vorher.
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Hiho,
> Leider ist es so, dass wir dieses Thema "Grenzwerte bei mehreren Variablen" nur in einer einzigen Vorlesung besprochen hatten (45 Minuten) und dann direkt zur Stetigkeit gewechselt sind.
Na von "wechseln" kann man da nicht sprechen. Dort geht es ja genau darum, solche Grenzwerte zu berechnen.
> Wir haben von unserem Prof nur diese "einfache" Berechnung gelernt
Gibt es dazu ein Skript o.ä?
> Sachen, wie Polarkoordinaten haben wir garnicht erst angesprochen.
Du ahnst also, worauf das hinaus läuft. Sehr gut.
Kleiner Merkregel: "gar nicht" wird gar nicht zusammen geschrieben.
> Ich denke Mal, er macht in seiner Klausur dann auch nur solche Aufgaben, wo bereits bei meinen oben beschriebenen drei Fällen eine Unstimmigkeit auftreten würde.
Dann ist klar, dass die Funktion unstetig ist.
> Weiter meinte er, dass - wenn man y = k*x einsetzt und prüft (wie auch immer...) - und dann KEINE Unstimmigkeit mit den anderen Grenzwerten (in X und Y Richtung) auftritt, dass die gesamte Funktion eben genau diesen Grenzwert besitzen würde.
Und die Aussage ist schlichtweg falsch, da kann ich dir gerne ein Gegenbeispiel angeben. Ist übrigens eine gern gesehene Übungsaufgabe in Mathematikstudiengängen: "Zeige, dass folgende Funktion auf jeder Geraden $y=k*x$ gegen den gleichen Grenzwert konvergiert, aber trotzdem nicht stetig ist."
> Wie das funktioniert, weiß ich auch nicht. Ich glaube, er meinte auch noch so etwas, von wegen "man prüft nur in einer bestimmten Umgebung und definiert nur für diese Umgebung einen Grenzwert - wie auch immer er das meint.
Hm..... entweder tierisches Geschwafel oder schlecht von dir wiedergegeben :P
> Ich danke dir trotzdem für deine Hilfe. Ich habs trotzdem besser verstanden, als vorher.
Gern & sehr gut.
Gruß,
Gono.
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