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| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass [mm] a_n =\wurzel[n]{n}-1 [/mm] eine Nullfolge ist. |
Hallo,
ich bin noch ganz neu im Forum und hoffe, alles richtig eingegeben zu haben. Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:
Wir sollen zeigen, dass [mm] \wurzel[n]{n}-1 [/mm] für alle n >2 gegen 0 konvergiert.
Wir dürfen dabei benutzen, dass alle [mm] a_n [/mm] größer als 0 sind und dass gilt:
[mm] n\ge [/mm] 1+ [mm] \vektor{n \\ 2}a_n^2.
[/mm]
Das habe ich mit Hilfe umgeformt in [mm] (a_n)^2\le \bruch{2}{n}.
[/mm]
Insgesamt muss ich ja zeigen, dass [mm] a_n [/mm] < [mm] \varepsilon \for [/mm] all [mm] n\ge n_0.
[/mm]
Dies ist äquivalent zu
[mm] (a_n)^2 [/mm] < [mm] \varepsilon^2
[/mm]
Hier komme ich irgendwie nicht weiter. Könnt ihr mir helfen?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=377781
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 So 02.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Beweisen Sie, dass [mm]a_n =\wurzel[n]{n}-1[/mm] eine Nullfolge ist.
> Hallo,
> ich bin noch ganz neu im Forum und hoffe, alles richtig
> eingegeben zu haben. Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:
> Wir sollen zeigen, dass [mm]\wurzel[n]{n}-1[/mm] für alle n >2
> gegen 0 konvergiert.
> Wir dürfen dabei benutzen, dass alle [mm]a_n[/mm] größer als 0 sind
> und dass gilt:
> [mm]n\ge 1+ \vektor{n \\ 2}a_n^2.[/mm]
> Das habe ich mit Hilfe
> umgeformt in [mm](a_n)^2\le \bruch{2}{n}.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Insgesamt muss ich ja zeigen, dass [mm]a_n < \varepsilon \forall n\ge n_0.[/mm]
> Dies ist äquivalent zu
> [mm](a_n)^2 < \varepsilon^2[/mm]
>
> Hier komme ich irgendwie nicht weiter. Könnt ihr mir
> helfen?
Du musst ein [mm] $n_0$ [/mm] finden, sodass [mm] $(a_n)^2 [/mm] < [mm] \varepsilon^2$, [/mm] wenn [mm] $n\ge n_0$. [/mm]
Andererseits weisst du, dass gilt: [mm](a_n)^2\le \bruch{2}{n}[/mm].
Wenn du also dein [mm] $n_0$ [/mm] so wählen kannst, dass [mm] $\bruch{2}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon^2$ [/mm] für [mm] $n\ge n_0$, [/mm] dann gilt:
[mm] a_n^2 \le \bruch{2}{n}< \varepsilon^2 [/mm]
und du bist fertig.
Viele Grüße
Rainer
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> Wenn du also dein [mm]n_0[/mm] so wählen kannst, dass [mm]\bruch{2}{n} < \varepsilon^2[/mm]
> für [mm]n\ge n_0[/mm], dann gilt:
>
> [mm]a_n^2 \le \bruch{2}{n}< \varepsilon^2[/mm]
>
> und du bist fertig.
>
Super, vielen Dank! Das war genau der Punkt, an dem es bei mir hakte. Jetzt habe ich noch [mm] \bruch{3}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] nach n aufgelöst und nun bin ich doch fertig?!
Vielen Dank nochmal!
Liebe Grüße,
Katrin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:29 Mo 03.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Katrin!
> > Wenn du also dein [mm]n_0[/mm] so wählen kannst, dass [mm]\bruch{2}{n} < \varepsilon^2[/mm]
> > für [mm]n\ge n_0[/mm], dann gilt:
> >
> > [mm]a_n^2 \le \bruch{2}{n}< \varepsilon^2[/mm]
> >
> > und du bist fertig.
> >
>
> Super, vielen Dank! Das war genau der Punkt, an dem es bei
> mir hakte. Jetzt habe ich noch [mm]\bruch{3}{n}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
> nach n aufgelöst und nun bin ich doch fertig?!
Ja, wenn das ein Tippfehler ist und du [mm]\bruch{2}{n}< \varepsilon^2[/mm] meintest.
Viele Grüße
Rainer
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