Grenzwert ohne l'Hospital < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:22 Mi 24.04.2013 | | Autor: | BamPi |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} x*(\wurzel{x^2+1}-\wurzel{x^2-1}) [/mm] |
Hallo,
ich hänge momentan einwenig bei dieser Aufgabe. Ich habe zunächst erweitert:
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} x*(\wurzel{x^2+1}-\wurzel{x^2-1}) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} x*(\bruch{2}{\wurzel{x^2+1}-\wurzel{x^2-1}})=\limes_{x\rightarrow-\infty} (\bruch{2}{\wurzel{1+1/x^2}-\wurzel{1-1/x^2}})
[/mm]
Dieser Limes würde aber für x [mm] \to -\infty [/mm] gegen 0 gehen. Die richtige Lösung müsste ja aber -1 sein. Nur seh ich nicht so recht wo hier der Fehler stecken könnte ?
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Hallo,
> ich hänge momentan einwenig bei dieser Aufgabe. Ich habe
> zunächst erweitert:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty} x*(\wurzel{x^2+1}-\wurzel{x^2-1})[/mm]
> = [mm]%5Climes_%7Bx%5Crightarrow-%5Cinfty%7D%20x*(%5Cbruch%7B2%7D%7B%5Cwurzel%7Bx%5E2%2B1%7D-%5Cwurzel%7Bx%5E2-1%7D%7D)%3D%5Climes_%7Bx%5Crightarrow-%5Cinfty%7D%20(%5Cbruch%7B2%7D%7B%5Cwurzel%7B1%2B1%2Fx%5E2%7D-%5Cwurzel%7B1-1%2Fx%5E2%7D%7D)[/mm]
>
Dir ist einfach im Nenner ein Vorzeichenwechsel unterlaufen. Da muss ein + zwischen den Wurzeln stehen...
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:44 Mi 24.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty} x*(\wurzel{x^2+1}-\wurzel{x^2-1})[/mm]
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> Hallo,
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> ich hänge momentan einwenig bei dieser Aufgabe. Ich habe
> zunächst erweitert:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty} x*(\wurzel{x^2+1}-\wurzel{x^2-1})[/mm]
> = [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty} x*(\bruch{2}{\wurzel{x^2+1}-\wurzel{x^2-1}})=\limes_{x\rightarrow-\infty} (\bruch{2}{\wurzel{1+1/x^2}-\wurzel{1-1/x^2}})[/mm]
>
> Dieser Limes würde aber für x [mm]\to -\infty[/mm] gegen 0 gehen.
> Die richtige Lösung müsste ja aber -1 sein.
Ergänzend zu Diophant: der Limes = 1
FRED
> Nur seh ich
> nicht so recht wo hier der Fehler stecken könnte ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Mi 24.04.2013 | | Autor: | BamPi |
Laut CAS wäre aber [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} x\cdot{}(\wurzel{x^2+1}-\wurzel{x^2-1}) [/mm] = -1 ?
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Hallo BamPi,
> Laut CAS wäre aber [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty} x\cdot{}(\wurzel{x^2+1}-\wurzel{x^2-1})[/mm]
> = -1 ?
Das ist ja auch richtig.
Für [mm] x\to\infty [/mm] wäre der Grenzwert +1.
Das Problem an Deiner Rechnung (außer dem schon bemängelten Plus, das im Nenner stehen sollte), ist eine fehlende Überlegung zu dem "x", das Du aus den Wurzeln herausziehst.
Genauer: so einfach kann man [mm] \bruch{x}{\wurzel{x^2}} [/mm] nicht kürzen.
Alles klar?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 Mo 29.04.2013 | | Autor: | BamPi |
Ja, müsste der Betrag sein.
Ich hänge allerdings immernoch bei
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} \bruch{2*x}{\wurzel{x^2+1}+\wurzel{x^2-1}}=\limes_{x\rightarrow-\infty} \bruch{2*x/x}{\wurzel{1+1/x^2}+\wurzel{1-1/x^2}}
[/mm]
Das Ergebnis ist aber 1 und leider nicht das richtige: -1. Ich seh aber nicht wo das Vorzeichen plötzlich herkommen soll ?
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Hallo BamPi,
> Ja, müsste der Betrag sein.
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> Ich hänge allerdings immernoch bei
> [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty} \bruch{2*x}{\wurzel{x^2+1}+\wurzel{x^2-1}}=\limes_{x\rightarrow-\infty} \bruch{2*x/x}{\wurzel{1+1/x^2}+\wurzel{1-1/x^2}}[/mm]
>
> Das Ergebnis ist aber 1 und leider nicht das richtige: -1.
> Ich seh aber nicht wo das Vorzeichen plötzlich herkommen
> soll ?
Kann das rote x denn stimmen?
DU betrachtest ja [mm] $x\to -\infty$, [/mm] bist also mit x in den negativen Zahlen ...
Du hast für $x<0$ die Wurzel [mm] $\sqrt{x^2}=x$ [/mm] gezogen ...
Was ist denn zB. [mm] $\sqrt{(-4)^2}$ [/mm] ?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 Mo 29.04.2013 | | Autor: | BamPi |
> Kann das rote x denn stimmen?
Ich sehe kein rotes x ?
>
> DU betrachtest ja [mm]x\to -\infty[/mm], bist also mit x in den
> negativen Zahlen ...
>
> Du hast für [mm]x<0[/mm] die Wurzel [mm]\sqrt{x^2}=x[/mm] gezogen ...
>
> Was ist denn zB. [mm]\sqrt{(-4)^2}[/mm] ?
[mm] \sqrt{(-4)^2}=+4
[/mm]
demnach [mm] \sqrt{(x)^2}=|x| [/mm] für x<0. Wo liegt da nun aber der Fehler ?
>
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:39 Mo 29.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Kann das rote x denn stimmen?
>
> Ich sehe kein rotes x ?
>
> >
> > DU betrachtest ja [mm]x\to -\infty[/mm], bist also mit x in den
> > negativen Zahlen ...
> >
> > Du hast für [mm]x<0[/mm] die Wurzel [mm]\sqrt{x^2}=x[/mm] gezogen ...
> >
> > Was ist denn zB. [mm]\sqrt{(-4)^2}[/mm] ?
>
> [mm]\sqrt{(-4)^2}=+4[/mm]
>
> demnach [mm]\sqrt{(x)^2}=|x|[/mm] für x<0. Wo liegt da nun aber der
> Fehler ?
Schachuzipus hat geschrieben:
"Du hast für $ x<0 $ die Wurzel $ [mm] \sqrt{x^2}=x [/mm] $ gezogen ... "
Es ist aber:
[mm]\sqrt{(x)^2}=|x|[/mm] .
Für x<0 bedeutet die:
[mm]\sqrt{(x)^2}=-x[/mm]
FRED
> >
> >
> > Gruß
> >
> > schachuzipus
>
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Hallo nochmal,
> > Kann das rote x denn stimmen?
>
> Ich sehe kein rotes x ?
Tja, der Formeleditor macht mal wieder, was er will ...
Ich hatte das x im Nenner des Zählerbruchs markiert ...
Ist aber dann nicht angezeigt - warum auch immer.
Aber aus dem Nachstehenden sollte auch so klar werden, welches x nur gemeint sein kann ...
Gruß
schachuzipus
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