Grenzwert positiver Elemente < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:29 Do 25.11.2010 | | Autor: | wee |
| Aufgabe | Es sei [mm] \mathcal{A} [/mm] eine C*-Algebra. Zeige: Ist [mm] (a_n)_{n\in\mathbb{N}} [/mm] eine Folge positiver Elemente, die gegen [mm] a\in\mathcal{A} [/mm] konvergiert. Dann ist $a$ positiv.
Definition: Ein Element einer C*-Algebra heißt positiv, falls es selbstadjungiert ist und sein Spektrum Teilmenge der positiven reellen Zahlen ist. |
Hallo,
die obige Aufgabe gilt es also zu lösen.
Mein Beweis sieht bis jetzt folgendermaßen aus:
1) [mm] a^\ast=(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n)^\ast=\lim_{n\rightarrow\infty} a_n^\ast=\lim_{n\rightarrow\infty} a_n=a. [/mm] Dabei wird benutzt, dass die Involution stetig ist bzgl. der C*-Norm (hier bin ich mir unsicher, ob das tatsächlich stimmt)
2) Da die [mm] a_n [/mm] alle positiv sind, findet sich eine selbstadjungierte Folge [mm] (b_n)_{n\in\mathbb{N}}, [/mm] so dass [mm] a_n=b_n^\ast b_n=b_n^2. [/mm] Dann gilt für das Spektrum von a: [mm] \sigma(a)=\sigma(\lim_{n\rightarrow\infty} a_n)=\sigma(\lim_{n\rightarrow\infty} b_n^2)\subseteq [0,\lVert\lim_{n\rightarrow\infty}b_n\rVert^2)\subseteq[0,\infty).
[/mm]
Vielleicht kann hier jemand prüfen, ob mein Beweis richtig ist. Ich bin für jede Hilfe dankbar und habe die Frage niergenswo anders gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:31 Do 25.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]\mathcal{A}[/mm] eine C*-Algebra. Zeige: Ist
> [mm](a_n)_{n\in\mathbb{N}}[/mm] eine Folge positiver Elemente, die
> gegen [mm]a\in\mathcal{A}[/mm] konvergiert. Dann ist [mm]a[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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Eingabefehler:
> "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde
> aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote
> Markierung)
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
>
> positiv.
>
>
> Definition: Ein Element einer C*-Algebra heißt positiv,
> falls es selbstadjungiert ist und sein Spektrum Teilmenge
> der positiven reellen Zahlen ist.
> Hallo,
>
> die obige Aufgabe gilt es also zu lösen.
>
> Mein Beweis sieht bis jetzt folgendermaßen aus:
>
> 1)
> a^\ast=(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n)^\ast=\lim_{n\rightarrow\infty
> a_n^\ast=\lim_{n\rightarrow\infty a_n=a. Dabei wird
> benutzt, dass die Involution stetig ist bzgl. der C*-Norm
> (hier bin ich mir unsicher, ob das tatsächlich stimmt)
>
> 2) Da die a_n alle positiv sind, findet sich eine
> selbstadjungierte Folge (b_n)_{n\in\mathbb{N}, so dass
> a_n=b_n^\ast b_n=b_n^2. DAnn gilt für das Spektrum von a:
> \sigma(a)=\sigma(\lim_{n\rightarrow
> a_n)=\sigma(\lim_{n\rightarrow\infty b_n^2)\subseteq
> [0,\lVert\lim_{n\rightarrow\infty}b_n\rVert^2)\subseteq[0,\infty).
>
>
> Vielleicht kann hier jemand prüfen, ob mein Beweis richtig
> ist.
Aber erst, wenn obiges lesbar ist
FRED
> Ich bin für jede Hilfe dankbar und habe die Frage
> niergenswo anders gestellt.
>
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:23 Do 25.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]\mathcal{A}[/mm] eine C*-Algebra. Zeige: Ist
> [mm](a_n)_{n\in\mathbb{N}}[/mm] eine Folge positiver Elemente, die
> gegen [mm]a\in\mathcal{A}[/mm] konvergiert. Dann ist [mm]a[/mm] positiv.
>
>
> Definition: Ein Element einer C*-Algebra heißt positiv,
> falls es selbstadjungiert ist und sein Spektrum Teilmenge
> der positiven reellen Zahlen ist.
Wohl besser : $ [mm] \sigma [/mm] (a) [mm] \subseteq [/mm] [0, [mm] \infty)$
[/mm]
>
> Hallo,
>
> die obige Aufgabe gilt es also zu lösen.
>
> Mein Beweis sieht bis jetzt folgendermaßen aus:
>
> 1)
> [mm]a^\ast=(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n)^\ast=\lim_{n\rightarrow\infty} a_n^\ast=\lim_{n\rightarrow\infty} a_n=a.[/mm]
> Dabei wird benutzt, dass die Involution stetig ist bzgl.
> der C*-Norm (hier bin ich mir unsicher, ob das tatsächlich
> stimmt)
Es stimmt.
>
> 2) Da die [mm]a_n[/mm] alle positiv sind, findet sich eine
> selbstadjungierte Folge [mm](b_n)_{n\in\mathbb{N}},[/mm] so dass
> [mm]a_n=b_n^\ast b_n=b_n^2.[/mm] Dann gilt für das Spektrum von a:
> [mm]\sigma(a)=\sigma(\lim_{n\rightarrow\infty} a_n)=\sigma(\lim_{n\rightarrow\infty} b_n^2)\subseteq [0,\lVert\lim_{n\rightarrow\infty}b_n\rVert^2)\subseteq[0,\infty).[/mm]
Das überzeugt mich nun gar nicht !
Du hast nur geschrieben: [mm] $\sigma(a) \subseteq [/mm] [0, ||a||] [mm] \subseteq [/mm] [0, [mm] \infty)$
[/mm]
Aber die erste Inklusion ist doch gerade das, was Du zeigen sollst.
Ich sehe 2 Möglichkeiten:
1. Du verwendest einen Satz von Newburgh, den Du z.B. findest in
H: Heuser, Funktionalanalysis, Satz 96.5
oder
2. Du nutzt aus: a ist positiv [mm] \gdw [/mm] der numerische Wertebereich von a ist Teilmenge von [0, [mm] \infty)
[/mm]
FRED
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> Vielleicht kann hier jemand prüfen, ob mein Beweis richtig
> ist. Ich bin für jede Hilfe dankbar und habe die Frage
> niergenswo anders gestellt.
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