Grenzwert rekursive Folge < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es soll der Grenzwert der Folge berechnet werden
[mm] a_0 [/mm] = a
[mm] a_1 [/mm] = b
[mm] a_n [/mm] = [mm] \frac{1}{2}(a_{n-1}+a_{n-2}) [/mm] für alle n>1 |
Hallo Zusammen,
Diese Frage hab ich aus dem Analysis 1 Buch von Otto Foster Aufgabe 4.1
Ich hab schon bewiesen, dass die Folge konvergiert indem ich gezeigt hab, dass der Betrag der Differenz zweier Folgenglieder beliebig klein wird und die Folge somit nach Cauchy konvergieren muss. Nur kann ich nicht sagen gegen was.
Was ich bisher mit Excel etc. berechnet habe ist, dass das irgentwas mit 1/3 zu tun hat.
Ich würd mich über einen Lösungsansatz / Hinweis freuen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke schon im Vorraus Analysisfreak
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Hi Analysisfreak,
zunächst einmal die kurze Antwort: der Grenzwert ist
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n = \begin{cases}
\bruch{2}{3}*(a+b), & ab \end{cases}[/mm]
Damit solltest du das mit Hilfe der Definition der Konvergenz schaffen.
Hier hab ich noch ne alternative Sichtweise, ohne Beweis: Sieh das Ganze als eine Art Intervallschachtelung (falls dir das was sagt).
Mal dir einfach nen (grossen) Zahlenstrahl zwischen a und b auf, markiere die Stelle [mm] $\bruch{2}{3}*(a+b)$ [/mm] und halbiere Schrittweise das Intervall. In jedem Schritt machst du in dem Teilintervall weiter, in dem sich die Markierung befindet. Du wirst sehen, dass die Halbierungsmarkierungen genau den Folgengliedern entsprechen.
Viele Grüße,
Michael
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