Grenzwert rekursiver Folge < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:24 Do 12.07.2007 | | Autor: | toivel |
Hallo,
wie bestimme ich den Grenzwert einer rekursiv gegebenen, konvergenten Folge? Natürlich ist der Startwert auch gegeben.
Beispielsweise
[mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3-x_n} [/mm]
oder
[mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3+x_n}.
[/mm]
Die erste Folge besitzt den Grenzwert 2, die zweite [mm] \bruch{-3+\wurzel{13}}{2}.
[/mm]
Die Lösungen habe ich gefunden indem ich die entsprechenden quadratischen Gleichungen gelöst habe und von den beiden möglichen Lösungen eine ausgeschlossen habe.
In meinen Beispielen lassen sich die Folgen leicht "auflösen". Wenn dies allerdings nicht möglich ist, wie löse ich dann?
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Hallo,
so allgemein, wie Du die Frage stellst (jede rekursiv definierte Folge), fürchte ich, gibt es kein allgemeines Rezept.
Gruß Korbinian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:59 Do 12.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo toivel!
Der Ansatz $x \ := \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_{n+1}$ [/mm] sollte schon meistens zum Ziel führen.
Voraussetzung dafür ist allerdings, dass die entsprechende Folge [mm] $$ [/mm] auch wirklich konvergent ist, d.h. dass $x \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n$ [/mm] auch wirklich existiert.
Diesen Nachweis der Konvergenz kannst Du führen, indem Du z.B. zeigst, dass [mm] $$ [/mm] sowohl beschränkt als auch monoton ist (z.B. mittels vollständiger Induktion).
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:34 Do 12.07.2007 | | Autor: | toivel |
Hallo Loddar,
ich gehe nicht von einer explizit gegebenen, sondern von einer rekursiv gegebenen Folge aus. Für explizit gegebene Folgen sollte Dein Ansatz zum Ziel (Grenzwert) führen. Rekursiv gegebene Folgen, die konvergent sind, können dagegen mehrere Grenzwerte besitzen, abhängig vom Startwert der Folge.
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