Grenzwert sinnvoll? < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Falls eine Summe $s(x)$ für [mm] $x=\epsilon$ [/mm] divergiert (ins Unendliche), sind dann Grenzwertbestimmungen [mm] ($x\to [/mm] 0$) überhaupt sinnvoll/definiert?
z.B.
[mm] $\limes_{x\to 0} [/mm] x/1 + x/2 + x/3 + x/4 + [mm] \dots$
[/mm]
danke, mw
|
|
| |
|
> Falls eine Summe [mm]s(x)[/mm] für [mm]x=\epsilon[/mm] divergiert (ins
> Unendliche), sind dann Grenzwertbestimmungen ([mm]x\to 0[/mm])
> überhaupt sinnvoll/definiert?
>
> z.B.
>
> [mm]\limes_{x\to 0}\ x/1 + x/2 + x/3 + x/4 + \dots[/mm]
hello mathwizard,
Es gilt:
[mm]\limes_{x\downarrow 0}\ (x/1 + x/2 + x/3 + x/4 + \dots)=\infty[/mm]
[mm]\limes_{x\uparrow 0}\ (x/1 + x/2 + x/3 + x/4 + \dots)=-\infty[/mm]
Dies sind sogenannte "uneigentliche Grenzwerte".
Da sie aber im Vorzeichen nicht übereinstimmen, existiert
[mm]\limes_{x\to 0}\ (x/1 + x/2 + x/3 + x/4 + \dots)[/mm]
nicht einmal als uneigentlicher Grenzwert.
LG
|
|
|
| |
|
danke für die schnelle Antwort! Könntest du kurz zeigen, wie du auf [mm] $-\infty$ [/mm] und [mm] $\infty$ [/mm] kommst?
Vielen Dank, mw.
|
|
|
| |
|
> danke für die schnelle Antwort! Könntest du kurz zeigen,
> wie du auf [mm]-\infty[/mm] und [mm]\infty[/mm] kommst?
>
> Vielen Dank, mw.
hallo mw,
Ich dachte, das hättest dies in deiner Frage
"Falls eine Summe s(x) für [mm] x=\epsilon [/mm] divergiert (ins Unendliche), sind
dann Grenzwertbestimmungen [mm] (x\to [/mm] 0) überhaupt sinnvoll/definiert?"
schon impliziert.
Nun, es ist ja
[mm] s(\varepsilon)=\varepsilon*(\bruch{1}{1}+ \bruch{1}{2}+ \bruch{1}{3}+ \bruch{1}{4}+ \bruch{1}{5}+ [/mm] .....)
Die in der Klammer stehende harmonische Reihe divergiert
und hat den (uneigentlichen) Grenzwert [mm] +\infty [/mm] .
Für [mm] \varepsilon>0 [/mm] ist [mm] \limes_{\varepsilon\downarrow 0} s(\varepsilon)=sgn(\varepsilon)*\infty=+\infty
[/mm]
Für [mm] \varepsilon<0 [/mm] ist [mm] \limes_{\varepsilon\uparrow 0} s(\varepsilon)=sgn(\varepsilon)*\infty=-\infty
[/mm]
An der Stelle 0 gilt natürlich s(0)=0. Eigentlich ist ja
der Definitionsbereich der Funktion s [mm] D_s=\{0\}. [/mm] Wenn man
von vornherein bei dieser Ansicht bleibt und auch gar keine
"uneigentlichen Funktionswerte" [mm] \infty [/mm] oder [mm] -\infty [/mm] zulässt, dann
müsste man natürlich auch die uneigentlichen Grenzwerte, wie
wir sie besprochen haben, opfern.
Deine Frage ist also sehr wohl berechtigt !
Vielleicht äussern sich ja noch andere dazu.
LG Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
Danke für die ausführliche Antwort, und entschuldige, dass ich weiter Nachfrage 
Mir ist nicht ganz klar, wieso du einfach sagen kannst [mm] $\epsilon\cdot [/mm] S [mm] \to \infty$ [/mm] wenn [mm] $\epsilon \to [/mm] 0^+$ und $S [mm] \to \infty$. [/mm] Wieso sollte das $S$ stärker gewichtet werden?
Meine schreibweise ist wohl zu implizit, oder eventuell sogar mehrdeutig. Vielleicht wäre es korrekter sowas zu sagen. Ist das folgende definiert?
[mm] $\limes_{x\to 0} \limes_{y\to\infty} \sum_{i=1}^{\lfloor y \rfloor} [/mm] x/i$
Oder wenigstens, das Folgende:
[mm] $\limes_{x\to 0^+} \limes_{y\to\infty} \sum_{i=1}^{\lfloor y \rfloor} [/mm] x/i$
wobei ich annehme, dass [mm] $x,y\in \mathbb{R}$. [/mm] Verwende die Gaussklammer, weil ich mir unsicher bin, ob man [mm] $x\in \mathbb{R}$ [/mm] und [mm] $n\in \mathbb{N}$ [/mm] vermischen kann. Eigentlich müsste man auch die beiden Limes vertauschen können, ohne Unterschied?
(Was aber im ersten Fall (nicht vertauschen) zu [mm] $+\infty$ [/mm] führen könnte, im anderen Fall (vertauschen) zu $0$?)
Mein Hauptproblem ist demnach, in dieser Situation nicht zu wissen wie man damit umgeht, wenn bei einer Multiplikation auf der einer Seite etwas gegen 0 (oder 0+) strebt, und anderseits etwas gegen [mm] $\infty$.
[/mm]
Vielen Dank, mw.
|
|
|
| |
|
> Danke für die ausführliche Antwort, und entschuldige, dass
> ich weiter Nachfrage
>
> Mir ist nicht ganz klar, wieso du einfach sagen kannst
> [mm]\epsilon\cdot S \to \infty[/mm] wenn [mm]\epsilon \to 0^+[/mm] und [mm]S \to \infty[/mm].
> Wieso sollte das [mm]S[/mm] stärker gewichtet werden?
hallo mw,
wie schon gesagt:
"Wenn man gar keine "uneigentlichen Funktionswerte"
zulässt, dann müsste man natürlich auch die uneigentlichen
Grenzwerte, wie wir sie besprochen haben, opfern."
Mit dieser Betrachtungsweise lässt man sich auf keine
Spitzfindigkeiten ein.
Für jedes positive x ist s(x) nach dieser Betrachtungsweise
einfach nicht definiert, und erst recht ist es dann sinnlos,
nach dem Grenzwert von s(x) für x gegen 0 zu fragen.
Falls man aber so etwas wie [mm] s(x)=+\infty [/mm] für alle positiven x
zulässt - übrigens im haargenau gleichen Sinne wie man die
Schreibweise
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n}=\infty
[/mm]
akzeptiert (!!), so haben wir also eine Funktion s(x)
mit [mm] s(x)=+\infty [/mm] für alle x>0. Wer sollte uns dann daran
hindern, auch zu schreiben [mm] \limes_{x\downarrow 0}s(x)=+\infty\quad [/mm] ?
LG
|
|
|
| |
|
Ah, jetzt sehe ich woraus du hinauswillst!
Definiert man jedoch kein s(.), sondern, wie in meinem vorherigen Post, schreibt es als doppelten Limes. Wie argumentiert man dann?
Mir wurde das Problem erst bewusst, also ich Ausdrücke der Form $x/1 + x/2 + x/3 + [mm] \dots [/mm] $ ansah.
Intuiv sollte dieser Ausdruck für [mm] $x\to [/mm] 0$ gegen 0 streben, da jeder Term gegen 0 strebt. Aber diese Betrachtungsweise beisst sich mit dem Unendlichen, deshalb fühle ich mich leicht ratlos.
Man könnte das obige z.B. als
(1) [mm] $\limes_{n\to\infty} $\sum_{i=1}^{n} \frac{1/n}{i}$
[/mm]
oder
(2) [mm] $\limes_{n\to\infty} $\sum_{i=1}^{n} \frac{1/n^2}{i}$
[/mm]
interpretieren, mit unterschiedlichen Konsequenzen.
Könnte ich also argumentieren, das falls diese beiden Limes irgendwie gekoppelt sind, eine Aussage plausibel sein mag, aber im anderen Fall als nicht eindeutig einstufen kann?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:56 So 02.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Ratlosigkeit scheint sich darauf zu beziehen, dass [mm] s_n(0)=0 [/mm] ist aber [mm] \limes_{x\rightarrow 0}(\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}x/i) [/mm] nicht gegen 0 geht.
[mm] s_n(x) [/mm] ist eine wohldefinierte fkt von x, die durch ne Reihe gegeben ist. der GW einer solchen fkt muss nie gegen den Wert der fkt an der Stelle konvergieren.
Dass der lim nicht existiert, kannst du einfach zeigen, indem du zu jedem M, [mm] \epsilon [/mm] ein N angibst so dass [mm] s_n(\epsilon)>M [/mm] fuer alle n>N. fertig. damit hast du die divergenz deines doppellimes gezeigt.
Gruss leduart.
|
|
|
| |
|
leduart, Danke!
Ist es demfall korrekt, dass ich für den Fall $ [mm] \limes_{n\to \infty}(\limes_{x\to 0}\summe_{i=1}^{n}x/i) [/mm] $ analog argumentieren kann?
- D.h., es gibt eine wohldefinierte Funktion $E(M,n)>0$, sodass [mm] $s_n(\epsilon) [/mm] < M$ für alle 0 < [mm] $\epsilon [/mm] < E(M,n)$ wobei M>0.
- Somit konvergiert dieser Ausdruck gegen 0.
Sind folgende Schlussfolgerungen richtig?
1. Falls man einen doppelten Limes hat, bzw. einen GW wo zwei Variablen unabhängig einen Grenzwert anstreben, dann muss man bestimmen ein welcher Reihenfolge diese diesen Wert anstreben. (z.B. zuerst [mm] $x\to [/mm] 0$ und dann [mm] $n\to\infty$)
[/mm]
2. Ist keine Ordnung ersichtlich, kann der Ausdruck je nachdem divergieren oder konvergieren.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:49 Mo 03.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Funktion E kapier ich nicht.
aber richtig ist dass der innere GW fuer jedes feste n 0 ist. Und natuerlich ist der aeussere dann auch 0.
richtig ist auch, dass die innere konvergenz nicht gleichmaesig von n abhaengt, d.h. je groesser n desto kleiner mus \ epsilon sein.
lim darf man nur im Fall der Konvergenz der einzelnen GW vertauschen. ohne Angabe der Reihenfolge ist lim(lim..) einfach sinnlos!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:03 Mo 03.11.2008 | | Autor: | mathwizard |
Danke!
(Das E war gedacht als pendant zum N um kleiner werdende Terme zu produzieren. Wollte eigentlich alles umdrehen. Nur leider kam dort noch das Problem dazu, dass man E auch noch von unten beschränken muss, im Vergleich zu N (welche keine obere Beschränkung braucht), dasselbe für epsilon (etc.), was alles sehr unübersichtlich macht ... egal )
|
|
|
|
