Grenzwert und Potenzreihe? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen sie den Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{sin x}{tan 7x} [/mm] |
Hallo
ich muss in einer Aufgabe den Grenzwert mittels Potenzreihen bestimmen.
'Ich habe mal einfach ein paar Glieder aufgeschrieben und habe gesehen, dass sich vieles wegkürzt und bei Einsetzen von x=0 nur noch eine Konstante dasteht. Nun wäre das ja schon der Grenzwert, wäre da nicht noch eine Sache! Das ganze muss nach der ganzen Rumgekürzerei noch stetig sein, damit man auch einfach x=0 einsetzen darf. Nur wie prüfe ich jetzt die Stetigkeit?
Ich habe jetzt so einen "Brei an Gliedern":
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1-\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^4}{4!}-\bruch{x^6}{6!}+...}{7-\bruch{7^3*x^2}{3!}+\bruch{7^5*x^4}{5!}-\bruch{7^7*x^6}{7!}+...}
[/mm]
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Hallo,
Du kannst das tun indem du zeigst dass alle rationalen Funktionen stetig sind. Dazu beweise dass $id; [mm] x\mapsto [/mm] x$ stetig ist und dass die komposition zweier stetiger Funktionen und deren Produkt und Summe ebenfalls stetig sind.
Gruss
kushkush
Edit: Da man um die Poynome zu betrachten ja differenzieren muss, darf man das wohl nicht.
Am einfachsten ist es denke ich, wenn du mit dem Folgenkriterium zeigst dass sin(x) und cos(x) stetig sind.
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Ach ich glaube jetzt macht es klick. Du meinst das was ich jetzt habe ist nichts weiter als ein Polynom, oder? Und das ist bekanntermaßen stetig, weil -> Komposition aus stetigen Funktionen.
Kannst du mir vielleicht noch sagen, ob die Umkehrung von dem Satz gilt?
"Eine Potenzreihe ist in ihrem inneren des Konvergenzradius stetig"
Heißt das automatisch, dass außerhalb des Konvergenzradius die Reihe unstetig ist, oder ist da keine Aussage möglich?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:41 So 14.08.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo paulpanter,
innerhalb des Konvergenzbereiches konvergiert die Reige stetig und zwar sogar, wenn ich mich recht entsinne, gleichmäßig stetig. Außerhalb des Konvergenzbereiches divergiert die Reihe und insofern stellt sich für mich die Frage, inwieweit der Begriff der Stetigkeit, der ja im Zusammenhang mit der Konvergenz auf einen Grenzwert hin benutzt wird, nämlich auf den darzustellenden Funktionswert hin,in diesem Bereich sinnvoll anzuwenden ist. Da habe ich meine Zweifel und deshalb lasse ich mal die Frage auf teilbeantwortet. Ein Kommentar hierzu von einem Mathematiker wäre sicher interessant, den Ingenieur interessiert das nicht so söhr  .
Viele Grüße,
Infinit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:49 So 14.08.2011 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n [/mm] eine Potenzreihe mit Konvergenzradius r>0 und
[mm] $f(x):=\summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ [/mm] für |x|<r
Dann ist f auf dem Intervall (-r,r) stetig. Dabei ist r= [mm] \infty [/mm] zugelassen.
Sei r < [mm] \infty:
[/mm]
Da die Potenzreihe für |x|>r divergiert, ist die Frage nach der Stetigkeit von f in Punkten x mit |x|>r sinnlos, denn f ist in solchen Punkten nicht definiert.
Bleiben noch die Punkte x= [mm] \pm [/mm] r. Dafür ist der Abelsche Grenzwertsatz gut:
http://de.wikipedia.org/wiki/Abelscher_Grenzwertsatz
FRED
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Hallo pualpanter,
kleine Ergänzung:
wie kushsush schon sagte, ist das Ding als Komposition in 0 stetiger Funktionen stetig in 0.
Alle Summanden, der Zähler und der Nenner sind in 0 stetig, also auch der Quotient und alles wird gut.
Einfach [mm]\lim\limits_{x\to 0}[/mm] bilden.
Allerdings ist nach deiner Kürzerei der Brei wohl ein wenig falsch.
Da solltest du nochmal nachmixen
Dass [mm]\frac{1}{7}[/mm] herauskommt, ist richtg, allerdings ist
[mm]\frac{\sin(x)}{\tan(7x)}=\frac{x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}\mp\ldots}{7x+\frac{7^3x^3}{3}+\frac{2\cdot{}7^5x^5}{15}+\ldots}[/mm]
[mm]=\frac{1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}\mp\ldots}{7+\frac{7^3x^2}{3}+\frac{2\cdot{}7^5x^4}{15}+\ldots}[/mm]
Gruß
schachuzipus
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