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| Aufgabe | | Bestimme den Grenzwert a der Folge [mm] a_{n} [/mm] = [mm] {((3)/(n^8+6n^6+3n^5-n^2+10n-2))} [/mm] und gib [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein [mm] n_{0} \in [/mm] N an, sodass [mm] |a_{n}-a|< \varepsilon [/mm] für alle n [mm] \ge n_{0} [/mm] |
huhu,
ich würde euch gerne meine Variante der Lösung vorstellen und bitte korrigiert mich falls ich ein fehler mache ok?^^also:
der Grenzwert ist offensichtlich 0, da der Bruch ziemlich analog zu dem fall 1/n ist, nur extremer. zu beweisen gilt also [mm] |a_{n}-0| [/mm] = [mm] a_{n} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] ist. In der Definiton der Folgenkonvergenz steht, dass es zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] >0 ein [mm] n_{0} [/mm] aus den natürlichen Zahlen gibt. Nach dem Satz von Archimedes gibt es ein [mm] n_{0} [/mm] > [mm] \varepsilon [/mm] und somit gilt ja mit der Tatsache n [mm] \ge n_{0} [/mm] folgernd :
[mm] n_{0} \le [/mm] n [mm] <\varepsilon [/mm] und da wir mit den Folgen arbeiten die Brüche sind:
[mm] a_{n} \le a_{n0} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]
damit wäre der beweis erbracht oder?
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Hallo Evelyn,
das ist kraus.
> Bestimme den Grenzwert a der Folge [mm]a_{n}[/mm] =
> [mm]{((3)/(n^8+6n^6+3n^5-n^2+10n-2))}[/mm] und gib [mm]\varepsilon[/mm] > 0
> ein [mm]n_{0} \in[/mm] N an, sodass [mm]|a_{n}-a|< \varepsilon[/mm] für alle
> n [mm]\ge n_{0}[/mm]
> huhu,
>
> ich würde euch gerne meine Variante der Lösung vorstellen
> und bitte korrigiert mich falls ich ein fehler mache
> ok?^^also:
Na, darum fragst Du ja hier an, und darum sind wir ja hier. 
> der Grenzwert ist offensichtlich 0, da der Bruch ziemlich
> analog zu dem fall 1/n ist, nur extremer.
Hm. Das ist zwar kein Nachweis, aber Du hast Recht. In der Lösung der Übungsaufgabe würde ich das aber nicht so schreiben, schon gar nicht mit dem hier umgangssprachlich gemeinten "extremer". Es klingt zu mathematisch...
> zu beweisen gilt
> also [mm]|a_{n}-0|[/mm] = [mm]a_{n}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] ist.
Ganz bestimmt nicht. Dazu müsstest Du erst einmal nachweisen, dass [mm] a_n\ge{0} [/mm] ist, sonst kannst Du ja die Betragsstriche nicht einfach weglassen. Außerdem sollst Du das nicht allgemein zeigen (geht auch gar nicht!), sondern zeigen, dass man [mm] n_0 [/mm] in Abhängigkeit von [mm] \varepsilon [/mm] so wählen kann, dass die obige Ungleichung für alle [mm] n\ge n_0 [/mm] erfüllt ist.
> In der Definiton
> der Folgenkonvergenz steht, dass es zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] >0
> ein [mm]n_{0}[/mm] aus den natürlichen Zahlen gibt.
In der Definition steht sicher so etwas: wenn es zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein [mm] n_0\in\IN [/mm] gibt, so dass [mm] \forall n\ge n_0 [/mm] gilt [mm] |a_n-g|<\varepsilon, [/mm] dann konvergiert [mm] (a_n)_n [/mm] gegen g.
> Nach dem Satz
> von Archimedes gibt es ein [mm]n_{0}[/mm] > [mm]\varepsilon[/mm]
Das soll Archimedes gesagt haben? Da verwechselst Du was. Allerdings wendest Du das ![[]](/images/popup.gif) archimedische Axiom im folgenden an, allerdings zu Unrecht.
> und somit
> gilt ja mit der Tatsache n [mm]\ge n_{0}[/mm] folgernd :
>
> [mm]n_{0} \le[/mm] n [mm]<\varepsilon[/mm] und da wir mit den Folgen arbeiten
> die Brüche sind:
> [mm]a_{n} \le a_{n0}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> damit wäre der beweis erbracht oder?
Nein, das ist völliger Quatsch. Du folgerst aus etwas, das es noch gar nicht gibt. Die Konvergenz folgt aus dem [mm]\varepsilon[/mm]-Argument, nicht umgekehrt.
Einfacher ist es, wenn Du z.B. erstmal dies zeigst:
[mm] \bruch{3}{n^8+6n^6+3n^5-n^2+10n-2}<\bruch{1}{n}
[/mm]
Danach ist es ganz einfach, ein [mm] n_0 [/mm] in Abhängigkeit von [mm] \varepsilon [/mm] zu finden. Mach Dir dabei klar, dass Du gar nicht das kleinste [mm] n_0 [/mm] angeben musst, sondern nur zeigen sollst, dass es immer ein solches [mm] n_0 [/mm] gibt.
Grüße
reverend
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huhu reverend,
hm schade ich dachte ich hätte es raus ;P also um zu beweisen dass mein Term den ich angegeben habe kleiner ist als {1}/{n} reicht es doch, wenn man einfach {1}/{n} mit 3 erweitert dann hat man ja {3}/{3n} und meiner meinung nach ist es ablesbar dass es größer ist als mein Ausgangsterm. und nachdem ich dies getan habe, reicht es den beweis zu vollführen, dass {1}/{n} kleiner ist als [mm] \varepsilon [/mm] ?
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Hallo ES2311,
> huhu reverend,
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> hm schade ich dachte ich hätte es raus ;P also um zu
> beweisen dass mein Term den ich angegeben habe kleiner ist
> als {1}/{n} reicht es doch, wenn man einfach {1}/{n} mit 3
> erweitert dann hat man ja {3}/{3n} und meiner meinung nach
> ist es ablesbar dass es größer ist als mein Ausgangsterm.
Naja, gerade das ist die (einzige) Schwierigkeit in diesem Beweis.
Das solltest du also genau begründen. Warum ist der Nenner [mm] $n^8+6n^6+...$ [/mm] denn größer als $3n$ ?
> und nachdem ich dies getan habe, reicht es den beweis zu
> vollführen, dass {1}/{n} kleiner ist als [mm]\varepsilon[/mm] ?
Ja, das würde dann reichen. Man ist im allg. nicht an dem kleinsten [mm] $n_0$ [/mm] interessiert, ab dem es "klappt", sondern begnügt sich damit, "irgendein" passendes [mm] $n_0$ [/mm] anzugeben. Dazu kann man dann den zu betrachtenden Ausgangsbetrag [mm] $|a_n-a|$ [/mm] (a der Grenzwert) großzügig abschätzen, das macht dann die weitere Rechnung erheblich einfacher ...
Gruß
schachuzipus
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huhu,
reicht es nicht einfach zu sagen, da n ja mind 1 ist(aus den natürlichen zahlen ist) ist der nenner größer, weil er nunmal größer ist^^ wie erkläre ich es denn genauer? es ist ja eig so offensichtlich.
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Hallo nochmal,
du kannst später bei extrem leicht nachvollziehbaren bzw. selbst herzuleitenden Dingen behaupten, sie seien offensichtlich. Im Moment wird von Dir gefordert, dass Du nichts Offensichtlichem traust, sondern es ggf. nachweisen kannst.
> reicht es nicht einfach zu sagen, da n ja mind 1 ist(aus
> den natürlichen zahlen ist) ist der nenner größer, weil
> er nunmal größer ist^^ wie erkläre ich es denn genauer?
> es ist ja eig so offensichtlich.
Sieht man denn genauso offensichtlich, dass der Nenner für n=2 auch größer ist? Und für n=17 oder gar n=27449?
Nein, das sieht man nicht. Aber man kann es ziemlich leicht zeigen, dass dieses Polynom 8.Grades viel schneller wächst als das lineare n. Wenn das Polynom nur positive Terme enthielte, dürftest Du wahrscheinlich tatsächlich sagen, dass es offensichtlich sei, aber da zwei negative Terme darin vorkommen, reicht das nicht.
Grüße
rev
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