Grenzwert von Folgen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
Ich hab eine relativ simple Frage, die mir allerdings ziemliches Kopfzerbrechen bereitet.
Wie berechne ich die Grenzwerte von Folgen?
Muss ich den Term lediglich umformen und dann unendlich einsetzen?
(Natürlich darf da nicht stehen [mm] \infty/\infty)
[/mm]
Danke schon mal im Voraus! =)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:26 Di 14.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> Ich hab eine relativ simple Frage, die mir allerdings
> ziemliches Kopfzerbrechen bereitet.
> Wie berechne ich die Grenzwerte von Folgen?
In dieser Allgemeinheit lässt sich die Frage nicht beantworten.
> Muss ich den Term lediglich umformen und dann unendlich
> einsetzen?
Umformen ist meist hilfreich. "unendlich einsetzen " ist keine gute Idee !
FRED
> (Natürlich darf da nicht stehen [mm]\infty/\infty)[/mm]
>
> Danke schon mal im Voraus! =)
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Und genau da liegt mein Problem.
Wie berechne ich denn dann den Grenzwert einer Folge?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 Di 14.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Und genau da liegt mein Problem.
> Wie berechne ich denn dann den Grenzwert einer Folge?
Hab ich nicht geschrieben:
"In dieser Allgemeinheit lässt sich die Frage nicht beantworten."
???
FRED
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Hmmm...
Hängt das denn immer von der jeweiligen Folge ab, oder?
Ich bin verwirrt..
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Hallo,
> Hmmm...
> Hängt das denn immer von der jeweiligen Folge ab, oder?
Ja, natürlich.
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> Ich bin verwirrt..
Es gibt verschiedene Techniken, zum einen die [mm] $\varepsilon$-Definition, [/mm] dann v.a. Grenzwertsätze und geschickte Umformungen ...
Poste konkrete Aufgaben ...
Gruß
schachuzipus
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Zur Methode der Epsilon-Umgebung.
Um diese anzuwenden, also:
|An-G|< [mm] \varepsilon
[/mm]
Dazu brauch man doch erstmal den Grenzwert, oder?
Und rechnet man damit denn nicht das n aus, ab dem der Grenzwert angenommen wird?
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Hallo nochmal,
> Zur Methode der Epsilon-Umgebung.
> Um diese anzuwenden, also:
> |An-G|< [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Dazu brauch man doch erstmal den Grenzwert, oder?
Eine möglichst passende Vermutung, ja.
> Und rechnet man damit denn nicht das n aus, ab dem der
> Grenzwert angenommen wird?
Dazu dient die Ungleichung oben, ja.
Der Grenzwert aber muss unabhängig von n sein. Hier geht es darum, ab welchem Index N alle [mm] a_n [/mm] (mit [mm] $n\ge{N}$) [/mm] die Ungleichung erfüllen.
Probiers mal mit den drei Aufgaben, die ich Dir gerade gegeben habe.
Grüße
reverend
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Hallo Haloelite,
nehmen wir doch mal Aufgaben:
1) Bestimme [mm] \lim_{x\to 0}\bruch{x^2+1}{x}.
[/mm]
2) Bestimme [mm] \lim_{x\to 0}\bruch{x+1}{x^2}.
[/mm]
Bei beiden darfst Du ja nicht einfach x=0 einsetzen, wegen der verbotenen Teilung durch Null. Genau darum führt man an solchen kritischen Stellen eine Grenzwertbetrachtung durch.
Und schließlich noch eine Aufgabe, die nochmal anders funktioniert:
3) Bestimme [mm] \lim_{x\to 0}\bruch{x^2+x+1}{x^2+1}
[/mm]
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:40 Di 14.01.2014 | | Autor: | Haloelite |
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:47 Di 14.01.2014 | | Autor: | Haloelite |
Wenn ich davon ausgehe, dass mit den "x" das selbe gemeint ist wie "n",
dann würde ich diese kürzen und dann wäre der Grenzwert doch offensichtlich, oder darf man das bei diesen Aufgabentypen nicht?
(Entschuldigt bitte die vielen Fragen, das Thema ist mir neu daher.)
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Hallo nochmal,
> Wenn ich davon ausgehe, dass mit den "x" das selbe gemeint
> ist wie "n",
Das sind Beispiele für Grenzwerte von Funktionen, du suchtest eher was mit Folgen und [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}a_n$, [/mm] oder?
> dann würde ich diese kürzen
Aha, aus Summen kürzen nur die ...
Zeige mal, wie du da kürzt ...
> und dann wäre der Grenzwert
> doch offensichtlich,
Aha, dann schwafel nicht drum herum. Butter bei die Fische. Wie lauten die Grenzwerte?
> oder darf man das bei diesen
> Aufgabentypen nicht?
Wenn man das richtig macht, ist Kürzen oft eine gute Idee ...
>
> (Entschuldigt bitte die vielen Fragen, das Thema ist mir
> neu daher.)
Gruß
schachuzipus
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:49 Di 14.01.2014 | | Autor: | Haloelite |
Ja das mit "aus Summen kürzen" habe ich gerade vergessen.
Aber gut, dass das Kürzen auch hier prinzipiell geht.
Danke.
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Die Grenzwerte sind bei den ersten beiden Aufgaben 0 bzw. [mm] \infty [/mm] .
Liege ich da richtig?
Bei der dritten Aufgabe ebenfalls 0.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 Di 14.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Die Grenzwerte sind bei den ersten beiden Aufgaben 0 bzw.
> [mm]\infty[/mm] .
> Liege ich da richtig?
nein.
>
> Bei der dritten Aufgabe ebenfalls 0.
Nein.
FRED
>
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Und wie soll man die denn dann berechnen?
Ich habe die Brüche auseinander gezogen, gekürzt und dann [mm] \infty [/mm] eingesetzt...
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Hallo,
> Und wie soll man die denn dann berechnen?
> Ich habe die Brüche auseinander gezogen,
Jo, das kannst du wohl machen ...
> gekürzt
Rechnung?
> und
> dann [mm]\infty[/mm] eingesetzt...
Hier ist nicht [mm] $\lim\limits_{x\to\infty}$ [/mm] gesucht, sondern [mm] $\lim\limits_{x\to \red 0}$ [/mm] !
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:07 Di 14.01.2014 | | Autor: | Haloelite |
Ahaaa, ups, mein Fehler.
Aber solange meine "Methode" schon mal richtig ist, bin ich zufrieden.
Vielen Dank an alle! =)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:23 Di 14.01.2014 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> Ahaaa, ups, mein Fehler.
>
> Aber solange meine "Methode" schon mal richtig ist, bin ich
> zufrieden.
Das ist sie aber leider nicht!
Grenzwerte an "interessanten" Stellen sind nie dadurch zu lösen, dass man den Zielwert der Laufvariablen einsetzt, weil das eben zu verbotenen Rechnungen führt.
So kann z.B. [mm] \bruch{\infty^2}{\infty} [/mm] alles sein, sogar 0 (das ist aber schwierig zu konstruieren). 1 wäre aber keine mühsam zu konstruierende Lösung.
Das gilt auch für sowas wie [mm] 0*\infty. [/mm] Das kann nun definitiv jeden beliebigen Wert annehmen, auch einen komplexen.
Ein Klassiker, bei dem noch nicht einmal der Grenzwert hilft, ist die Bestimmung von [mm] 0^0. [/mm] Das ist erst einmal undefiniert und bleibt es auch besser. Manchmal ist es aber nötig, hier eine Festlegung zu treffen, entweder [mm] 0^0=0 [/mm] oder [mm] 0^0=1. [/mm] Alles andere macht keinen Sinn. Zwischen diesen beiden Möglichkeiten kann man sich aber ziemlich frei entscheiden...
Deine "Methode" ist daher zu einfach. Sie wird bei den meisten Grenzwerten nicht funktionieren!
Grüße
reverend
> Vielen Dank an alle! =)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:35 Mi 15.01.2014 | | Autor: | fred97 |
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> Ein Klassiker, bei dem noch nicht einmal der Grenzwert
> hilft, ist die Bestimmung von [mm]0^0.[/mm] Das ist erst einmal
> undefiniert und bleibt es auch besser. Manchmal ist es aber
> nötig, hier eine Festlegung zu treffen, entweder [mm]0^0=0[/mm]
> oder [mm]0^0=1.[/mm] Alles andere macht keinen Sinn. Zwischen diesen
> beiden Möglichkeiten kann man sich aber ziemlich frei
> entscheiden...
Hallo reverend,
mit Deinen obigen Ausführungen bin ich nicht so richtig einverstanden...
1. Es ist [mm] \limes_{x\rightarrow 0+0}x^x=1.
[/mm]
2. Schauen wir uns mal eine Potenzreihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n [/mm] an
[mm] (a_n, [/mm] z [mm] \in \IK, [/mm] wobei [mm] \IK=\IR [/mm] oder [mm] \IK=\IC).
[/mm]
Der erste Summand lautet [mm] a_0z^0. [/mm] Nehmen wir weiter an, dass die Potenzreihe den Konvergenzradius R > 0 habe. Damit wird eine Funktion
[mm] $f:\{z \in \IK: |z|
definiert.
Was ist nun f(0) ?
Fall 1: [mm] 0^0:=1. [/mm] Dann ist [mm] f(0)=a_0
[/mm]
Fall 2: [mm] 0^0:=0. [/mm] Dann ist f(0)=0.
Ist [mm] a_0 \ne [/mm] 0, so ist Fall 2 ziemlich bescheuert. Daher entscheide ich mich ganz frank und frei für
[mm] 0^0=1.
[/mm]
Gruß FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:01 Mi 15.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Außerdem macht es fast immer Sinn es so zu definieren.
Binomischer Lehrsatz und die Cosinusreihe sind zum Beispiel zwei wichtige Gründe wieso man es so definieren sollte. Es macht eigentlich nichts kaputt. Wenn man hingegen etwas anderes zulässt bekommt man überall Probleme..
Gruß DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:49 Mi 15.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> Außerdem macht es fast immer Sinn es so zu definieren.
>
> Binomischer Lehrsatz und die Cosinusreihe sind zum Beispiel
> zwei wichtige Gründe wieso man es so definieren sollte.
Ja, die Def. [mm] 0^0:=0 [/mm] hätte folgende Konsequenzen:
1. Für b [mm] \in \IR [/mm] und n [mm] \in \IN [/mm] wäre
[mm] b^n=(0+b)^n=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}0^kb^{n-k}=0.
[/mm]
2. [mm] \cos(0)=0
[/mm]
3. 1= [mm] \bruch{1}{1-0}=\summe_{k=0}^{\infty}0^k=0
[/mm]
4. Ist [mm] p(z)=\summe_{k=0}^{n}a_kz^k [/mm] ein Polynom, so ist p(0)=0. Damit ist der Fundamentalsatz der Algebra eine Trivialität.
Etc.....
FRED
> Es
> macht eigentlich nichts kaputt. Wenn man hingegen etwas
> anderes zulässt bekommt man überall Probleme..
>
> Gruß DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:35 Mi 15.01.2014 | | Autor: | reverend |
Moin Kinners,
Ihr habt ja Recht. Hier ging es aber um Grenzwerte. Und es dürfte unbestreitbar sein, dass
[mm] \lim_{x\to 0}x^0\not=\lim_{x\to 0}0^x
[/mm]
ist. Gerade dieses Dilemma ist eben nicht zu lösen, indem man [mm] 0^0 [/mm] definiert.
Ansonsten bin ich doch ganz auf Eurer Seite.
Herzliche Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:43 Do 16.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Moin Kinners,
>
> Ihr habt ja Recht. Hier ging es aber um Grenzwerte. Und es
> dürfte unbestreitbar sein, dass
>
> [mm]\lim_{x\to 0}x^0\not=\lim_{x\to 0}0^x[/mm]
>
Moin Vadder,
> ist. Gerade dieses Dilemma ist eben nicht zu lösen,
Ich sehe weit und breit kein Dilemma !
Gruß FRED
> indem
> man [mm]0^0[/mm] definiert.
> Ansonsten bin ich doch ganz auf Eurer Seite.
>
> Herzliche Grüße
> reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:57 Do 16.01.2014 | | Autor: | Diophant |
Moin FRED,
> Ich sehe weit und breit kein Dilemma !
Dann schweigen sie wahrscheinlich mal wieder, die Lemmas. 
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:03 Do 16.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Moin FRED,
>
> > Ich sehe weit und breit kein Dilemma !
>
> Dann schweigen sie wahrscheinlich mal wieder, die Lemmas.
Moin Diophant,
darauf drinken wir eine Lemma-nade
Gruß FRED
>
>
> Gruß, Diophant
>
>
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Aye!
Zum Schweigen der Lemmer (oder Lemmae oder Lemmatas) kann ich dies beisteuern:
http://www.youtube.com/watch?v=KVtIZQpJNaM
Gruß
schachuzipus
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Okay, danke.
Mittlerweile bin ich mit meinem Lernfortschritt etwas weiter gekommen,
sodass ich Grenzwerte jetzt so bilde, dass ich die Terme vereinfache
und auch immer auf ein Ergebnis komme, bei dem, wie z.B. hier:
[mm] \bruch{(-4)^{n}+6^{n}}{6^{n+1}} [/mm] man am Ende kürzt und ein Ergebnis von +/- [mm] \infty [/mm] (für gerade/ungerade n) raus kommt.
Grüße,
HaloElite
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Hallo,
> Okay, danke.
> Mittlerweile bin ich mit meinem Lernfortschritt etwas
> weiter gekommen,
> sodass ich Grenzwerte jetzt so bilde, dass ich die Terme
> vereinfache
> und auch immer auf ein Ergebnis komme, bei dem, wie z.B.
> hier:
> [mm]\bruch{(-4)^{n}+6^{n}}{6^{n+1}}[/mm] man am Ende kürzt und
> ein offensichtliches Ergebnis von +/- [mm]\infty[/mm] (für
> gerade/ungerade n) raus kommt.
>
Dann bist du leider nicht sehr weit gekommen. Es ist
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(-4)^n+6^n}{6^{n+1}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left(-\frac{2}{3}\right)^n*6^n+6^n}{6^{n+1}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left(-\frac{2}{3}\right)^n+1}{6}=\bruch{1}{6}
[/mm]
Und nu? 
Gruß, Diophant
EDIT: falschen Grenzwert am, Ende berichtigt, bin leider wegen Mittagspause vorher nicht dazu gekommen.
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Oh stimmt. Ich merke auch gerade, dass ich in meiner Rechnung einen peinlichen Fehler gemacht habe. ^^
Aber ginge das Ergebnis dann nicht eher gegen 1/6?
Aber so wie du es vorgerechnet hast, würde ich es auch machen.
Mir ging es um die Methode, durch die man den grenzwert berechnet. Die habe ich jetzt verstanden.
Danke für die Berichtigung. :)
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Hallo Haloelite!
> Aber ginge das Ergebnis dann nicht eher gegen 1/6?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Du hast Recht.
Da ist Diophant ein kleiner Fehler unterlaufen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:34 Do 16.01.2014 | | Autor: | Haloelite |
Danke. :)
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