Grenzwert von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:04 Mo 19.11.2007 | | Autor: | dieanne |
| Aufgabe | Sei n element N. Untersuchen Sie die durch das allgemeine Glied explizit definierten Zahlenfolgen auf Konvergenz, und berechnen Sie ggf. den Grenzwert!
c) [mm] cn:=-2n+(4n^2+5n+2)^1/2 [/mm] |
Hallo,
ich hab mir überlegt, dass ich gleich zeige, dass die Folge gegen 1 geht und somit ist die Konvergenz ja auch klar. Also ich habe (alles für n gegen unendlich):
lim [mm] (-2n+(4n^2+5n+2)^1/2) [/mm] = lim [mm] [(5n+2)/(4n^2+5n+2)^1/2+2n]
[/mm]
Darauf bin ich nach der 3. Binomischen Formel gekommen und hoffe es stimmt auch.
Wieso geht das jetzt gegen 1?
Was müsste ich eigentlich zeigen, wenn nur nach Konvergenz und nicht nach Grenzwert gefragt ist?
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:17 Mo 19.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anne!
Leider ist mir Dein Rechenweg völlig schleierhaft ... aber das richtige Stichwort mit 3. binomischer Formel hast Du bereits genannt.
Erweitere Deinen Folgenausdruck mit [mm] $\left( \ \wurzel{4n^2+5n+2} \ \red{+} \ 2n \ \right)$ [/mm] und fasse zusammen.
Anschließend in Zähler und Nenner $n_$ ausklammern und kürzen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Mo 19.11.2007 | | Autor: | dieanne |
Genau das habe ich gemacht! Und nach ausrechnen und so weiter komme ich auf:
5n+2/Wurzel aus: (4n²+5n+2) +2n
Wie soll ich denn da ein n ausklammern??? Über dem Bruchstrich bei der 2 fehlt mir ja ein n. Das ist das Problem. Wie formt man weiter um, damit man sieht, dass das gegen 1 geht?
|
|
|
| |
|
Hallo Anne,
> Genau das habe ich gemacht! Und nach ausrechnen und so
> weiter komme ich auf:
>
> 5n+2/Wurzel aus: (4n²+5n+2) +2n ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wie soll ich denn da ein n ausklammern??? Über dem
> Bruchstrich bei der 2 fehlt mir ja ein n. Das ist das
> Problem. Wie formt man weiter um, damit man sieht, dass das
> gegen 1 geht?
Gar nicht, das geht doch gegen [mm] \frac{5}{4} [/mm] 
Also [mm] $\frac{5n+2}{\sqrt{4n^2+5n+2}+2n}=\frac{n\cdot{}\left(5+\frac{2}{n}\right)}{\sqrt{n^2\cdot{}\left(4+\frac{5}{n}+\frac{2}{n^2}\right)}+2n}=\frac{n\cdot{}\left(5+\frac{2}{n}\right)}{n\cdot{}\sqrt{4+\frac{5}{n}+\frac{2}{n^2}}+2n}$
[/mm]
Nun noch im Nenner das $n$ ausklammern und kürzen, dann den Grenzübergang machen....
Ok?
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Mo 19.11.2007 | | Autor: | dieanne |
Danke für die Antwort, der Schritt hat mir gefehlt.
Ich will jetzt kein Spielverderber sein, aber es geht gegen 1, wirklich. Probiere es mal mit dem Taschenrechner aus: bei 100000 kommst du auf 1,25 und wenn du das ganze Display mit 999999 auffüllst (die Taktik der Verzweifelten), dann auf 1,2...
|
|
|
| |
|
Hallo Anne,
nein, du hast doch auch BERECHNET (mit der obigen Umformung), dass das gegen [mm] \frac{5}{4} [/mm] strebt.
Wenn du nachher die n wegkürzt, strebt doch der Zähler gegen 5 und der Nenner gegen [mm] \sqrt{4}+2=4
[/mm]
Also der Bruch gegen [mm] \frac{5}{4}
[/mm]
Du hast ja selbst gesagt, dass der TR für n=10000 1,25 ausspuckt, das ist doch genau [mm] \frac{5}{4} [/mm]
Das "andere" Ergebnis 1,2 kommt wohl daher, dass der TR nur in der Lage ist, eine bestimmte Anzahl an Ziffern zu verarbeiten bzw. darzustellen.
Da hat er was "abgeschnitten"
Aber [mm] \frac{5}{4} [/mm] als GW ist zu n% richtig für [mm] n\to\infty [/mm]
Lieben Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:25 Di 20.11.2007 | | Autor: | dieanne |
Vielen Dank!
Hab jetzt alles verstanden und denke auch, dass es ein Rundungsproblem vom Taschenrechner ist.
Der Rest vom Weg der mir noch fehlte ist mir jetzt Dank dir auch völlig klar, also nochmal Danke für die schnelle Hilfe!
|
|
|
|
