Grenzwert von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen Sie die Folgen [mm] b_{n} [/mm] und [mm] c_{n} [/mm] auf Konvergenz bzw. Divergenz und bestimmen Sie im Konvergenzfall den Grenzwert für n [mm] \to \infty, [/mm] wobei
[mm] b_{n}:=\wurzel{2n+2012}-\wurzel{n} [/mm] und
[mm] c_{n}:=(\bruch{2-2i}{1+4i})^{n}. [/mm] |
[mm] b_{n}:=\wurzel{2n+2012}-\wurzel{n} [/mm] =
[mm] b_{n}:=\wurzel{2n+2012}-\wurzel{n} [/mm] * [mm] \bruch{\wurzel{2n+2012}+\wurzel{n}}{\wurzel{2n+2012}+\wurzel{n}} [/mm] = [mm] \bruch{2n+2012-n}{\wurzel{2n+2012}+\wurzel{n}} [/mm] = [mm] \bruch{n+2012}{\wurzel{2n+2012}+\wurzel{n}} [/mm] = [mm] \bruch{n(1+\bruch{2012}{n})}{\wurzel{n(2+(\bruch{2012}{n}))}+\wurzel{n}}
[/mm]
Zähler und Nenner gehen für n [mm] \to \infty [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] also ist b= [mm] \infty
[/mm]
[mm] c_{n}:=(\bruch{2-2i}{1+4i})^{n} [/mm] = [mm] (\bruch{2-2i}{1+4i}*\bruch{1-4i}{1-4i})^{n} [/mm] = [mm] (\bruch{2-8i-2i+8i^{2}}{1-4i+4i-16i^{2}})^{n}=(\bruch{2-10i-8}{1+16})^{n}=(\bruch{-6-10i}{17})^{n}=\bruch{(-6-10i)^{n}}{17^{n}} [/mm]
Zähler geht für n [mm] \to \infty [/mm] gegen [mm] -\infty [/mm] und Nenner gegen [mm] \infty [/mm] also ist c = ?
Bin mir unsicher, ob ich die richtige Herangehensweise benutzt habe.
Und noch eine Frage:
Der Grenzwert einer Folge ist ja so definiert, dass es für alle [mm] \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists n_{0} \in \IN: \forall [/mm] n [mm] \ge n_{0} [/mm] : [mm] |a_{n}-a| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Aber wenn a der Grenzwert ist, dann sind doch alle [mm] a_{n}, [/mm] die grösser als [mm] n_{0} [/mm] sind, also da wo der grenzwert erreicht ist, gleich dem Grenzwert. Also warum ist es dann nicht [mm] |a_{n}-a| [/mm] = 0
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:42 Fr 26.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie die Folgen [mm]b_{n}[/mm] und [mm]c_{n}[/mm] auf Konvergenz
> bzw. Divergenz und bestimmen Sie im Konvergenzfall den
> Grenzwert für n [mm]\to \infty,[/mm] wobei
>
> [mm]b_{n}:=\wurzel{2n+2012}-\wurzel{n}[/mm] und
> [mm]c_{n}:=(\bruch{2-2i}{1+4i})^{n}.[/mm]
> [mm]b_{n}:=\wurzel{2n+2012}-\wurzel{n}[/mm] =
> [mm]b_{n}:=\wurzel{2n+2012}-\wurzel{n}[/mm] *
> [mm]\bruch{\wurzel{2n+2012}+\wurzel{n}}{\wurzel{2n+2012}+\wurzel{n}}[/mm]
> = [mm]\bruch{2n+2012-n}{\wurzel{2n+2012}+\wurzel{n}}[/mm] =
> [mm]\bruch{n+2012}{\wurzel{2n+2012}+\wurzel{n}}[/mm] =
> [mm]\bruch{n(1+\bruch{2012}{n})}{\wurzel{n(2+(\bruch{2012}{n}))}+\wurzel{n}}[/mm]
>
> Zähler und Nenner gehen für n [mm]\to \infty[/mm] gegen [mm]\infty[/mm]
> also ist b= [mm]\infty[/mm]
Das ist richtig, aber nicht ausreichend begründet. Ich würde so vorgehen:
$ [mm] b_{n}=\wurzel{2n+2012}-\wurzel{n} \ge \wurzel{2n}-\wurzel{n} \ge \wurzel{2n}$
[/mm]
>
> [mm]c_{n}:=(\bruch{2-2i}{1+4i})^{n}[/mm] =
> [mm](\bruch{2-2i}{1+4i}*\bruch{1-4i}{1-4i})^{n}[/mm] =
> [mm](\bruch{2-8i-2i+8i^{2}}{1-4i+4i-16i^{2}})^{n}=(\bruch{2-10i-8}{1+16})^{n}=(\bruch{-6-10i}{17})^{n}=\bruch{(-6-10i)^{n}}{17^{n}}[/mm]
>
> Zähler geht für n [mm]\to \infty[/mm] gegen [mm]-\infty[/mm] und Nenner
> gegen [mm]\infty[/mm] also ist c = ?
Sei [mm] q:=\bruch{2-2i}{1+4i}, [/mm] dann ist |q|<1 und [mm] c_n=q^n
[/mm]
Hilft das ?
>
> Bin mir unsicher, ob ich die richtige Herangehensweise
> benutzt habe.
>
> Und noch eine Frage:
>
> Der Grenzwert einer Folge ist ja so definiert, dass es für
> alle [mm]\varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists n_{0} \in \IN: \forall[/mm] n [mm]\ge n_{0}[/mm]
> : [mm]|a_{n}-a|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Aber wenn a der Grenzwert ist, dann sind doch alle [mm]a_{n},[/mm]
> die grösser als [mm]n_{0}[/mm] sind, also da wo der grenzwert
> erreicht ist, gleich dem Grenzwert.
Das ist völliger Unsinn !
FRED
> Also warum ist es dann
> nicht [mm]|a_{n}-a|[/mm] < 0
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> > Untersuchen Sie die Folgen [mm]b_{n}[/mm] und [mm]c_{n}[/mm] auf Konvergenz
> > bzw. Divergenz und bestimmen Sie im Konvergenzfall den
> > Grenzwert für n [mm]\to \infty,[/mm] wobei
> >
> > [mm]b_{n}:=\wurzel{2n+2012}-\wurzel{n}[/mm] und
> > [mm]c_{n}:=(\bruch{2-2i}{1+4i})^{n}.[/mm]
> > [mm]b_{n}:=\wurzel{2n+2012}-\wurzel{n}[/mm] =
> > [mm]b_{n}:=\wurzel{2n+2012}-\wurzel{n}[/mm] *
> >
> [mm]\bruch{\wurzel{2n+2012}+\wurzel{n}}{\wurzel{2n+2012}+\wurzel{n}}[/mm]
> > = [mm]\bruch{2n+2012-n}{\wurzel{2n+2012}+\wurzel{n}}[/mm] =
> > [mm]\bruch{n+2012}{\wurzel{2n+2012}+\wurzel{n}}[/mm] =
> >
> [mm]\bruch{n(1+\bruch{2012}{n})}{\wurzel{n(2+(\bruch{2012}{n}))}+\wurzel{n}}[/mm]
> >
> > Zähler und Nenner gehen für n [mm]\to \infty[/mm] gegen [mm]\infty[/mm]
> > also ist b= [mm]\infty[/mm]
>
>
> Das ist richtig, aber nicht ausreichend begründet. Ich
> würde so vorgehen:
>
> [mm]b_{n}=\wurzel{2n+2012}-\wurzel{n} \ge \wurzel{2n}-\wurzel{n} \ge \wurzel{2n}[/mm]
Ich sehe hier nicht, wie mich das zum Grenzwert bringt?
>
>
> >
> > [mm]c_{n}:=(\bruch{2-2i}{1+4i})^{n}[/mm] =
> > [mm](\bruch{2-2i}{1+4i}*\bruch{1-4i}{1-4i})^{n}[/mm] =
> >
> [mm](\bruch{2-8i-2i+8i^{2}}{1-4i+4i-16i^{2}})^{n}=(\bruch{2-10i-8}{1+16})^{n}=(\bruch{-6-10i}{17})^{n}=\bruch{(-6-10i)^{n}}{17^{n}}[/mm]
> >
> > Zähler geht für n [mm]\to \infty[/mm] gegen [mm]-\infty[/mm] und Nenner
> > gegen [mm]\infty[/mm] also ist c = ?
>
>
> Sei [mm]q:=\bruch{2-2i}{1+4i},[/mm] dann ist |q|<1 und [mm]c_n=q^n[/mm]
>
> Hilft das ?
Wenn 0<|q|<1 wäre [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}c_n=0,
[/mm]
aber woher weiß ich, dass es q>0
> >
> > Bin mir unsicher, ob ich die richtige Herangehensweise
> > benutzt habe.
> >
> > Und noch eine Frage:
> >
> > Der Grenzwert einer Folge ist ja so definiert, dass es für
> > alle [mm]\varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists n_{0} \in \IN: \forall[/mm] n [mm]\ge n_{0}[/mm]
> > : [mm]|a_{n}-a|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
> >
> > Aber wenn a der Grenzwert ist, dann sind doch alle [mm]a_{n},[/mm]
> > die grösser als [mm]n_{0}[/mm] sind, also da wo der grenzwert
> > erreicht ist, gleich dem Grenzwert.
>
>
> Das ist völliger Unsinn !
>
> FRED
>
>
> > Also warum ist es dann
> > nicht [mm]|a_{n}-a|[/mm] < 0
Ich meinte :
Also warum ist es dann
nicht [mm]|a_{n}-a|[/mm] = 0
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Hallo,
> > > Untersuchen Sie die Folgen [mm]b_{n}[/mm] und [mm]c_{n}[/mm] auf Konvergenz
> > > bzw. Divergenz und bestimmen Sie im Konvergenzfall den
> > > Grenzwert für n [mm]\to \infty,[/mm] wobei
> > >
> > > [mm]b_{n}:=\wurzel{2n 2012}-\wurzel{n}[/mm] und
> > > [mm]c_%25257Bn%25257D%25253A%25253D(%25255Cbruch%25257B2-2i%25257D%25257B1%25252B4i%25257D)%25255E%25257Bn%25257D.[/mm]
> > > [mm]b_{n}:=\wurzel{2n 2012}-\wurzel{n}[/mm] =
> > > [mm]b_{n}:=\wurzel{2n 2012}-\wurzel{n}[/mm] *
> > >
> >
> [mm]\bruch{\wurzel{2n 2012} \wurzel{n}}{\wurzel{2n 2012} \wurzel{n}}[/mm]
> > > = [mm]\bruch{2n+2012-n}{\wurzel{2n+2012}+\wurzel{n}}[/mm] =
> > > [mm]\bruch{n+2012}{\wurzel{2n+2012}+\wurzel{n}}[/mm] =
> > >
> >
> [mm]\bruch{n(1+\bruch{2012}{n})}{\wurzel{n(2+(\bruch{2012}{n}))}+\wurzel{n}}[/mm]
> > >
> > > Zähler und Nenner gehen für n [mm]\to \infty[/mm] gegen [mm]\infty[/mm]
> > > also ist b= [mm]\infty[/mm]
> >
> >
> > Das ist richtig, aber nicht ausreichend begründet. Ich
> > würde so vorgehen:
> >
> > [mm]b_{n}=\wurzel{2n 2012}-\wurzel{n} \ge \wurzel{2n}-\wurzel{n} \ge \wurzel{2n}[/mm]
>
> Ich sehe hier nicht, wie mich das zum Grenzwert bringt?
[mm]b_n[/mm] ist unbeschränkt. Was treibt [mm]\sqrt{2n}[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm]? Was also das noch größere [mm]b_n[/mm] ?
> >
> >
> > >
> > > [mm]c_{n}:=(\bruch{2-2i}{1 4i})^{n}[/mm] =
> > > [mm](\bruch{2-2i}{1+4i}*\bruch{1-4i}{1-4i})^{n}[/mm] =
> > >
> >
> [mm](\bruch{2-8i-2i+8i^{2}}{1-4i+4i-16i^{2}})^{n}=(\bruch{2-10i-8}{1+16})^{n}=(\bruch{-6-10i}{17})^{n}=\bruch{(-6-10i)^{n}}{17^{n}}[/mm]
> > >
> > > Zähler geht für n [mm]\to \infty[/mm] gegen [mm]-%25255Cinfty[/mm] und Nenner
> > > gegen [mm]\infty[/mm] also ist c = ?
> >
> >
> > Sei [mm]q:=\bruch{2-2i}{1 4i},[/mm] dann ist |q|<1 und [mm]c_n=q^n[/mm]
> >
> > Hilft das ?
> Wenn 0<|q|<1 wäre [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}c_n=0,[/mm]
Für [mm]|q|=0[/mm] nicht?
> aber woher weiß ich, dass es q>0
In den komplexen Zahlen gibt es keine Anordnung, [mm]q>0[/mm] ist also sinnfrei.
Vielleicht meinst du ja [mm]|q|>0[/mm]? Immerhin hast du das noch 1 Zeile höher so aufgeschrieben ...
Der Betrag einer komplexen Zahl [mm]z=x+iy[/mm] ist def. als [mm]\sqrt{x^2+y^2}[/mm], wobei [mm]x,y\in\IR[/mm]
Und [mm]\sqrt{x^2+y^2}[/mm] ist stets [mm]\ge 0[/mm]
> > >
> > > Bin mir unsicher, ob ich die richtige Herangehensweise
> > > benutzt habe.
> > >
> > > Und noch eine Frage:
> > >
> > > Der Grenzwert einer Folge ist ja so definiert, dass es für
> > > alle [mm]\varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists n_{0} \in \IN: \forall[/mm] n [mm]\ge n_{0}[/mm]
> > > : [mm]|a_{n}-a|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
> > >
> > > Aber wenn a der Grenzwert ist, dann sind doch alle [mm]a_{n},[/mm]
> > > die grösser als [mm]n_{0}[/mm] sind, also da wo der grenzwert
> > > erreicht ist, gleich dem Grenzwert.
> >
> >
> > Das ist völliger Unsinn !
> >
> > FRED
> >
> >
> > > Also warum ist es dann
> > > nicht [mm]|a_{n}-a|[/mm] < 0
>
> Ich meinte :
> Also warum ist es dann
> nicht [mm]|a_{n}-a|[/mm] = 0
Wenn du eine konvergente Folge [mm]a_n[/mm] hast mit GW a, die konstant ist, ist das richtig, aber i.A. nicht.
Du kommst beliebig nahe an a heran, aber die [mm]a_n[/mm] sind noch lange nicht =a
Hast du mal ein Bild gesehen zur Konvergenz ([mm]\varepsilon[/mm]-Schlauch ...)
LG
schachuzipus
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> Hallo,
> > > > Untersuchen Sie die Folgen [mm]b_{n}[/mm] und [mm]c_{n}[/mm] auf
> Konvergenz
> > > > bzw. Divergenz und bestimmen Sie im Konvergenzfall
> den
> > > > Grenzwert für n [mm]\to \infty,[/mm] wobei
> > > >
> > > > [mm]b_{n}:=\wurzel{2n 2012}-\wurzel{n}[/mm] und
> > > >
> [mm]c_%25257Bn%25257D%25253A%25253D(%25255Cbruch%25257B2-2i%25257D%25257B1%25252B4i%25257D)%25255E%25257Bn%25257D.[/mm]
> > > > [mm]b_{n}:=\wurzel{2n 2012}-\wurzel{n}[/mm] =
> > > > [mm]b_{n}:=\wurzel{2n 2012}-\wurzel{n}[/mm] *
> > > >
> > >
> > [mm]\bruch{\wurzel{2n 2012} \wurzel{n}}{\wurzel{2n 2012} \wurzel{n}}[/mm]
>
> > > > = [mm]\bruch{2n+2012-n}{\wurzel{2n+2012}+\wurzel{n}}[/mm] =
> > > > [mm]\bruch{n+2012}{\wurzel{2n+2012}+\wurzel{n}}[/mm] =
> > > >
> > >
> >
> [mm]\bruch{n(1+\bruch{2012}{n})}{\wurzel{n(2+(\bruch{2012}{n}))}+\wurzel{n}}[/mm]
> > > >
> > > > Zähler und Nenner gehen für n [mm]\to \infty[/mm] gegen
> [mm]\infty[/mm]
> > > > also ist b= [mm]\infty[/mm]
> > >
> > >
> > > Das ist richtig, aber nicht ausreichend begründet.
> Ich
> > > würde so vorgehen:
> > >
> > > [mm]b_{n}=\wurzel{2n 2012}-\wurzel{n} \ge \wurzel{2n}-\wurzel{n} \ge \wurzel{2n}[/mm]
Warum ist denn [mm] \wurzel{2n}-\wurzel{n} \ge \wurzel{2n} [/mm] ?
>
> >
> > Ich sehe hier nicht, wie mich das zum Grenzwert bringt?
>
> [mm]b_n[/mm] ist unbeschränkt. Was treibt [mm]\sqrt{2n}[/mm] für
> [mm]n\to\infty[/mm]? Was also das noch größere [mm]b_n[/mm] ?
[mm] \sqrt{2n} [/mm] geht für [mm] n\to\infty [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] und bn geht auch gegen [mm] \infty.
[/mm]
Aber wie hilft mir das weiter?
>
> > >
> > >
> > > >
> > > > [mm]c_{n}:=(\bruch{2-2i}{1 4i})^{n}[/mm] =
> > > > [mm](\bruch{2-2i}{1+4i}*\bruch{1-4i}{1-4i})^{n}[/mm] =
> > > >
> > >
> >
> [mm](\bruch{2-8i-2i+8i^{2}}{1-4i+4i-16i^{2}})^{n}=(\bruch{2-10i-8}{1+16})^{n}=(\bruch{-6-10i}{17})^{n}=\bruch{(-6-10i)^{n}}{17^{n}}[/mm]
> > > >
> > > > Zähler geht für n [mm]\to \infty[/mm] gegen [mm]-%25255Cinfty[/mm]
> und Nenner
> > > > gegen [mm]\infty[/mm] also ist c = ?
> > >
> > >
> > > Sei [mm]q:=\bruch{2-2i}{1 4i},[/mm] dann ist |q|<1 und [mm]c_n=q^n[/mm]
> > >
> > > Hilft das ?
> > Wenn 0<|q|<1 wäre [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}c_n=0,[/mm]
>
> Für [mm]|q|=0[/mm] nicht?
>
> > aber woher weiß ich, dass es q>0
>
> In den komplexen Zahlen gibt es keine Anordnung, [mm]q>0[/mm] ist
> also sinnfrei.
>
> Vielleicht meinst du ja [mm]|q|>0[/mm]? Immerhin hast du das noch 1
> Zeile höher so aufgeschrieben ...
>
> Der Betrag einer komplexen Zahl [mm]z=x+iy[/mm] ist def. als
> [mm]\sqrt{x^2+y^2}[/mm], wobei [mm]x,y\in\IR[/mm]
>
> Und [mm]\sqrt{x^2+y^2}[/mm] ist stets [mm]\ge 0[/mm]
Aber es ist doch [mm] c_n=q^{n} [/mm] und nicht [mm] c_n=|q|^{n}
[/mm]
und wie kommt man drauf, das |q| < 1 ist?
>
> > > >
> > > > Bin mir unsicher, ob ich die richtige
> Herangehensweise
> > > > benutzt habe.
> > > >
> > > > Und noch eine Frage:
> > > >
> > > > Der Grenzwert einer Folge ist ja so definiert, dass
> es für
> > > > alle [mm]\varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists n_{0} \in \IN: \forall[/mm]
> n [mm]\ge n_{0}[/mm]
> > > > : [mm]|a_{n}-a|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
> > > >
> > > > Aber wenn a der Grenzwert ist, dann sind doch alle
> [mm]a_{n},[/mm]
> > > > die grösser als [mm]n_{0}[/mm] sind, also da wo der
> grenzwert
> > > > erreicht ist, gleich dem Grenzwert.
> > >
> > >
> > > Das ist völliger Unsinn !
> > >
> > > FRED
> > >
> > >
> > > > Also warum ist es dann
> > > > nicht [mm]|a_{n}-a|[/mm] < 0
> >
> > Ich meinte :
> > Also warum ist es dann
> > nicht [mm]|a_{n}-a|[/mm] = 0
>
> Wenn du eine konvergente Folge [mm]a_n[/mm] hast mit GW a, die
> konstant ist, ist das richtig, aber i.A. nicht.
>
> Du kommst beliebig nahe an a heran, aber die [mm]a_n[/mm] sind noch
> lange nicht =a
>
> Hast du mal ein Bild gesehen zur Konvergenz
> ([mm]\varepsilon[/mm]-Schlauch ...)
>
> LG
>
> schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:43 Fr 26.04.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> > Ich
> > > > würde so vorgehen:
> > > >
> > > > [mm]b_{n}=\wurzel{2n 2012}-\wurzel{n} \ge \wurzel{2n}-\wurzel{n} \ge \wurzel{2n}[/mm]
>
> Warum ist denn [mm]\wurzel{2n}-\wurzel{n} \ge \wurzel{2n}[/mm] ?
Kann es sein, dass du zeigen willst, dass:
[mm] $\sqrt{2n}+\sqrt{n}\ge\sqrt{2n}$?
[/mm]
Die Aussage [mm] \sqrt{2n}-\sqrt{n}\ge\sqrt{2n} [/mm] ist jedenfalls falsch.
[mm] \sqrt{2n}-\sqrt{n}\ge\sqrt{2n}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow-\sqrt{n}\ge0
[/mm]
Und das ist eine falsche Aussage
> >
> > >
> > > Ich sehe hier nicht, wie mich das zum Grenzwert
> bringt?
> >
> > [mm]b_n[/mm] ist unbeschränkt. Was treibt [mm]\sqrt{2n}[/mm] für
> > [mm]n\to\infty[/mm]? Was also das noch größere [mm]b_n[/mm] ?
> [mm]\sqrt{2n}[/mm] geht für [mm]n\to\infty[/mm] gegen [mm]\infty[/mm] und bn geht
> auch gegen [mm]\infty.[/mm]
>
> Aber wie hilft mir das weiter?
> >
> > > >
> > > >
> > > > >
> > > > > [mm]c_{n}:=(\bruch{2-2i}{1 4i})^{n}[/mm] =
> > > > > [mm](\bruch{2-2i}{1+4i}*\bruch{1-4i}{1-4i})^{n}[/mm] =
> > > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm](\bruch{2-8i-2i 8i^{2}}{1-4i 4i-16i^{2}})^{n}=(\bruch{2-10i-8}{1 16})^{n}=(\bruch{-6-10i}{17})^{n}=\bruch{(-6-10i)^{n}}{17^{n}}[/mm]
> > > > >
> > > > > Zähler geht für n [mm]%5Cto%20%5Cinfty[/mm] gegen
> [mm]-%25255Cinfty[/mm]
> > und Nenner
> > > > > gegen [mm]\infty[/mm] also ist c = ?
> > > >
> > > >
> > > > Sei [mm]q:=\bruch{2-2i}{1 4i},[/mm] dann ist |q|<1 und
> [mm]c_n=q^n[/mm]
> > > >
> > > > Hilft das ?
> > > Wenn 0<|q|<1 wäre [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}c_n=0,[/mm]
> >
> > Für [mm]|q|=0[/mm] nicht?
> >
> > > aber woher weiß ich, dass es q>0
> >
> > In den komplexen Zahlen gibt es keine Anordnung, [mm]q>0[/mm] ist
> > also sinnfrei.
> >
> > Vielleicht meinst du ja [mm]|q|>0[/mm]? Immerhin hast du das noch 1
> > Zeile höher so aufgeschrieben ...
> >
> > Der Betrag einer komplexen Zahl [mm]z=x iy[/mm] ist def. als
> > [mm]\sqrt{x^2 y^2}[/mm], wobei [mm]x,y\in\IR[/mm]
> >
> > Und [mm]\sqrt{x^2 y^2}[/mm] ist stets [mm]\ge 0[/mm]
>
> Aber es ist doch [mm]c_n=q^{n}[/mm] und nicht [mm]c_n=|q|^{n}[/mm]
> und wie kommt man drauf, das |q| < 1 ist?
Du hast doch [mm] q=\frac{2-2i}{14i}=-\frac{1}{7}-i\cdot\frac{1}{7} [/mm] gegeben.
Und der Betrag davon ist, rechne das nach, kleiner als 1.
Marius
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Hallo,
die Abschätzung für [mm]b_n[/mm] ist in der Tat falsch rum ...
Deine Erweiterung ist doch prima, du hattest am Ende
[mm]\frac{n +2012}{\sqrt{n\left(2 +2012/n\right)} +\sqrt{n}}[/mm]
Da kannst du im Nenner aus der ersten Wurzel das n rausziehen und dann im Nenner [mm]\sqrt{n}[/mm] ausklammern:
[mm]=\frac{n +2012}{\sqrt{n}\cdot{}\sqrt{2 +2012/n} +\sqrt{n}}=\frac{n +2012}{\sqrt{n}\cdot{}\left[\sqrt{2 +2012/n} +1\right]}[/mm]
Jetzt kannst du im Zähler noch [mm] $\sqrt{n}$ [/mm] ausklammern, dann kürzt sich das weg und die Grenzwertsätze liefern [mm] $b_n\longrightarrow \infty$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Dann würde für n [mm] \to \infty [/mm] im Nenner die [mm] \wurzel{n} \to \infty [/mm] und im Zähler wäre [mm] \wurzel{2}+1 [/mm] übrig oder?
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Hallo nochmal,
> Dann würde für n [mm]\to \infty[/mm] im Nenner die [mm]\wurzel{n} \to \infty[/mm]
> und im Zähler wäre [mm]\wurzel{2} 1[/mm] übrig oder?
Genau umgekehrt, der Zähler strebt wegen des bleibenden [mm] $\sqrt [/mm] n$ gegen [mm] $\infty$, [/mm] der Nenner gegen [mm] $\sqrt [/mm] 2+1$
Gruß
schachuzipus
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