Grenzwert von Folgen Beweis < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 Mo 16.01.2012 | | Autor: | yangwar1 |
| Aufgabe | Seien [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] konvergent Folgen mit [mm] a_n\le b_n [/mm] für alle n [mm] \in \IN. [/mm] Zeigen Sie, dass dann gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n \le \limes_{n\rightarrow\infty} b_n [/mm] |
Seien [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] zwei Konvergente Folgen. Angenommen es gelte: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] > [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_n.
[/mm]
Dann gilt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] - [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_n [/mm] > 0 [mm] \gdw 0<|a_n-a|-|b_n-b|<\varepsilon-\varepsilon=0. [/mm] Also Widerspruch zur Annahme und damit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n \le \limes_{n\rightarrow\infty} b_n.
[/mm]
Stimmt das?
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> Seien [mm]a_n[/mm] und [mm]b_n[/mm] konvergente Folgen mit [mm]a_n\le b_n[/mm] für
> alle n [mm]\in \IN.[/mm] Zeigen Sie, dass dann gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n \le \limes_{n\rightarrow\infty} b_n[/mm]
>
> Seien [mm]a_n[/mm] und [mm]b_n[/mm] zwei Konvergente Folgen. Angenommen es
> gelte: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n\ >\ \limes_{n\rightarrow\infty} b_n.[/mm]
Du strebst also einen Beweis durch Widerspruch an.
Diese Idee ist OK.
> Dann gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n\ -\ \limes_{n\rightarrow\infty} b_n[/mm] > 0 [mm]\gdw 0<|a_n-a|-|b_n-b|<\varepsilon-\varepsilon=0.[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
> Also Widerspruch zur Annahme und damit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n \le \limes_{n\rightarrow\infty} b_n.[/mm]
>
> Stimmt das?
Nein, so geht dies nicht.
Du könntest z.B. so vorgehen: Nimm [mm] \varepsilon:= [/mm] ein Drittel
der Differenz der Grenzwerte. Wähle n so groß, dass
sowohl [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] in den entsprechenden Epsilon-
umgebungen liegen. So kannst du einen Widerspruch
zur Annahme [mm] a_n\le{b_n} [/mm] konstruieren.
Tipp: mach dir zur Beweisidee auch eine Skizze !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 Mo 16.01.2012 | | Autor: | yangwar1 |
Was ist denn an dem Beweis falsch? Ich versuche ihn einmal in Worte zu fassen:
Seien [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] konvergente Folge und weiter gelte: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] > [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_n.
[/mm]
Das ist äquivalent zu: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] - [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_n [/mm] > 0.
Bis hierhin stimmt es doch noch. Wenn ich mit diesen Annahmen einen Widerspruch zu [mm] a\le [/mm] herleite, dann wäre die Behauptung doch bewiesen?
Wenn ein Grenzwert einer Folge existiert, dann gibt es also ab einer bestimmten Zahl [mm] n\ge n_o [/mm] eine Epsilon Umgebung, für die gilt:
[mm] |a_n-a|<\varepsilon. [/mm] Selbiges gilt für die Folge [mm] b_n. [/mm]
Im Skript steht folgendes: Eine Folge heißt konvergent gegen a [mm] \in \IR, [/mm] falls zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein [mm] n_o [/mm] existiert, so dass für alle [mm] n>n_o [/mm] gilt:
[mm] |a_n-a|< \varepsilon. [/mm] Wir schreiben dann [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = a.
Bei vorliegender Behauptung sage ich also, die Folge [mm] a_n [/mm] konvergiert gegen a und die Folge [mm] b_n [/mm] gegen b. Also kann ich doch statt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = a schreiben: [mm] |a_n-a|<\varepsilon
[/mm]
Oder darf man das nicht ersetzen, weil ja nur [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n \le \limes_{n\rightarrow\infty} b_n [/mm] dasteht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:14 Mo 16.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine Idee ist nicht falsch, aber zu ungenau durchgeführt. wenn a<0.1 und b<0.1 folgt NICHT a-b=0
denn a kann ja 0.09 , b=0.001 sein
wie du das richtig machen kannst wurde dir schon gesagt
mit a<r, b<r kannst du nur folgern |a-b|<|a|+|b|<2r
ausserdem musst du sagen, wähle n so groß dass dein [mm] \epsilon [/mm] für beide Folgen gilt.
Gruss leduart
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