Grenzwert von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:10 So 27.11.2011 | | Autor: | Nicky-01 |
| Aufgabe | Unter welchen bedingungen konvergieren die golgenden Reihen?
Berechnen sie ggf den GW.
a) [mm] \bruch{a+a^2+a^3+...}{1+a} a\in\IR
[/mm]
b) [mm] (z^3-1)(1+z^3+z^6+z^9+...) z\in\IR [/mm] |
Hey,
ich könnte mal wieder Hilfe gebrauchen.
Hatte damals in der Schule leider den Grenzwert von Reihen nie gehabt, also jedefalls nicht von geometrischen ...
und weiß jetzt leider nicht wie ich bei den beiden aufgaben vorgehen soll ...
also bei a) hätte ich vllt einen kleinen ansatz, wenn man das so machen kann ... allerdings kommt mir das sehr falsch vor ...
a) [mm] \bruch{\summe_{i=0}^{\infty} a^i}{1+a} [/mm]
--- > |a|<1 konvergiert mit [mm] \bruch{1}{1-\bruch{a}{1+a}}
[/mm]
[mm] |a|\ge1 [/mm] divergiert
wenn ich das von den mitschriften aus meinem Tutorium richtig auf die aufgabe angewendet haben sollte ... allerdings sieht mir der wert, wo es konvergieren sollte, sehr falsch aus .... was es vermutlich auch ist ...
also für hilfe wäre ich mal wieder sehr dankbar!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:37 So 27.11.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Unter welchen bedingungen konvergieren die golgenden
> Reihen?
> Berechnen sie ggf den GW.
>
> a) [mm]\bruch{a+a^2+a^3+...}{1+a} a\in\IR[/mm]
>
> b) [mm](z^3-1)(1+z^3+z^6+z^9+...) z\in\IR[/mm]
> Hey,
> ich könnte mal wieder Hilfe gebrauchen.
> Hatte damals in der Schule leider den Grenzwert von Reihen
> nie gehabt, also jedefalls nicht von geometrischen ...
> und weiß jetzt leider nicht wie ich bei den beiden
> aufgaben vorgehen soll ...
In beiden Fällen handelt es sich um Reihen, die mit einem Vorfaktor multipliziert werden, nämlich
a) [mm] \bruch{1}{1+a} (a+a^2+a^3+\dots) [/mm] ,
b) [mm] (z^3-1) (1+z^3+z^6+z^9+\dots) [/mm] .
Der Faktor spielt für die Konvergenz keine Rolle, allerdings musst du dir die Sonderfälle überlegen, wenn
a) der Nenner 0 wird,
b) der Faktor selbst 0 wird .
> also bei a) hätte ich vllt einen kleinen ansatz, wenn man
> das so machen kann ... allerdings kommt mir das sehr falsch
> vor ...
> a) [mm]\bruch{\summe_{i=0}^{\infty} a^i}{1+a}[/mm]
> --- > |a|<1 konvergiert mit [mm]\bruch{1}{1-\bruch{a}{1+a}}[/mm]
> [mm]|a|\ge1[/mm] divergiert
Nicht ganz richtig: die Aussage über Konvergenz/Divergenz ist richtig, außer für den Fall $a=-1$, wo der Nenner 0 wird, und das Ganze undefiniert ist.
Außerdem geht es in deiner Summe mit [mm] $a^0=1$ [/mm] los, in der Aufgabe aber mit [mm] $a=a^1$. [/mm] Richtig ist also
[mm] \bruch{1}{1+a} \summe_{i=1}^{\infty} a^i = \bruch{1}{1+a}\left(\summe_{i=0}^{\infty} a^i - 1\right) =\bruch{1}{1+a}\left( \bruch{1}{1-a} - 1\right) = \bruch{1}{1+a} \bruch{1-(1-a)}{1-a} = \dots [/mm] .
Auch bei b) musst du geschickt eine geometrische Reihe angeben:
[mm] 1+z^3+z^6+z^9+\dots = (z^3)^0 + (z^3)^1 + \dots [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:22 So 27.11.2011 | | Autor: | Nicky-01 |
achso ok, jetzt habe ich es verstanden!
danke für die schnelle hilfe!
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