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| Aufgabe | Berechnen Sie:
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left( \left( \wurzel{n+\wurzel{n}}-\wurzel{n} \right) + i* \left( \bruch{1}{\wurzel{n^{2}+1}} + \bruch{1}{\wurzel{n^{2}+2}} + ... + \bruch{1}{\wurzel{n^{2}+n}} \right) \right) [/mm] $ |
Puh, endlich fertig mit Aufgabe eintippen 
Guten Abend liebes Forum.
Zur Aufgabe: Wie man sieht, soll man den Grenzwert dieser komplexen Folge ausrechnen.
Aus der VL weiß ich, dass man hier Real- und Imaginärteil seperat betrachten muss.
Realteil
Ich will erstmal den Ausdruck umformen, damit ich besser sehe ob er konvergiert oder nicht:
[mm] \wurzel{n+\wurzel{n}}-\wurzel{n} [/mm] = [mm] \wurzel{n}\wurzel{1+\bruch{1}{\wurzel{n}}} [/mm] - [mm] \wurzel{n} [/mm] = [mm] \wurzel{n}\left(\wurzel{1+\bruch{1}{\wurzel{n}}} - 1\right)
[/mm]
Hm, ich glaube nicht, dass das mich groß weiter gebracht hat.
Eine andere Idee wäre, dass ich den Ausdruck abschätze:
[mm] \wurzel{n+\wurzel{n}}-\wurzel{n} \le \wurzel{n+n}-\wurzel{n} [/mm] = [mm] \wurzel{n}\left( \wurzel{2}-1 \right)
[/mm]
Das divergiert allerdings auch. Hat jemand einen Tipp, wie man hier am besten weiter kommt?
Imaginärteil
Hier würde ich auch wieder abschätzen:
[mm] \left(\bruch{1}{\wurzel{n^{2}+1}} + \bruch{1}{\wurzel{n^{2}+2}} + ... + \bruch{1}{\wurzel{n^{2}+n}}\right) \ge \left( \bruch{1}{\wurzel{n^{2}+n}} + \bruch{1}{\wurzel{n^{2}+n}} + ... + \bruch{1}{\wurzel{n^{2}+n}} \right) [/mm] = [mm] \bruch{n}{\wurzel{n^{2}+n}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{n} [/mm] geht gegen 0! Wenn ich jetzt noch davon ausgehen kann, dass $ [mm] \wurzel{1} [/mm] = 1 $ ist, wär der Teil zumindest mal erledigt.
Danke für jede Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo MatheStudi7,
die Idee, Real- und Imaginärteil der Folge zu untersuchen, ist schon mal sehr gut!
> Berechnen Sie:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\left( \left( \wurzel{n+\wurzel{n}}-\wurzel{n} \right) + i* \left( \bruch{1}{\wurzel{n^{2}+1}} + \bruch{1}{\wurzel{n^{2}+2}} + ... + \bruch{1}{\wurzel{n^{2}+n}} \right) \right)[/mm]
>
> Puh, endlich fertig mit Aufgabe eintippen
![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
> Guten Abend liebes Forum.
>
> Zur Aufgabe: Wie man sieht, soll man den Grenzwert dieser
> komplexen Folge ausrechnen.
> Aus der VL weiß ich, dass man hier Real- und
> Imaginärteil seperat betrachten muss. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Realteil
> Ich will erstmal den Ausdruck umformen, damit ich besser
> sehe ob er konvergiert oder nicht:
> [mm]\wurzel{n+\wurzel{n}}-\wurzel{n}[/mm] =
> [mm]\wurzel{n}\wurzel{1+\bruch{1}{\wurzel{n}}}[/mm] - [mm]\wurzel{n}[/mm] =
> [mm]\wurzel{n}\left(\wurzel{1+\bruch{1}{\wurzel{n}}} - 1\right)[/mm]
>
> Hm, ich glaube nicht, dass das mich groß weiter gebracht
> hat.
> Eine andere Idee wäre, dass ich den Ausdruck abschätze:
> [mm]\wurzel{n+\wurzel{n}}-\wurzel{n} \le \wurzel{n+n}-\wurzel{n}[/mm]
> = [mm]\wurzel{n}\left( \wurzel{2}-1 \right)[/mm]
> Das divergiert
> allerdings auch. Hat jemand einen Tipp, wie man hier am
> besten weiter kommt?
Ich würde es mit Erweitern versuchen, ein typischer Trick, Summen oder Differenzen von Wurzeln loszuwerden, ist so zu erweitern, dass die 3.binom. Formel entsteht!
[mm]\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})\cdot{}\red{(\sqrt{a}+\sqrt{b})}}{\red{\sqrt{a}+\sqrt{b}}}[/mm][mm]=\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}[/mm]
Hier erweitere also mit [mm]\sqrt{n+\sqrt{n}} \ \red{+} \ \sqrt{n}[/mm]
>
> Imaginärteil
> Hier würde ich auch wieder abschätzen:
> [mm]\left(\bruch{1}{\wurzel{n^{2}+1}} + \bruch{1}{\wurzel{n^{2}+2}} + ... + \bruch{1}{\wurzel{n^{2}+n}}\right) \ge \left( \bruch{1}{\wurzel{n^{2}+n}} + \bruch{1}{\wurzel{n^{2}+n}} + ... + \bruch{1}{\wurzel{n^{2}+n}} \right)[/mm]
> = [mm]\bruch{n}{\wurzel{n^{2}+n}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}}[/mm]
Sehr gut!
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm] geht gegen 0! Wenn ich jetzt noch davon
> ausgehen kann, dass [mm]\wurzel{1} = 1[/mm] ist, wär der Teil
> zumindest mal erledigt.
Ja, diese Minorante, gegen die du abgeschätzt hast, strebt gegen 1.
Finde noch eine Majorante zur Imaginärteilfolge, die ebenfalls gegen 1 konvergiert.
Dann bist du wegen des Sandwichlemmas fertig.
Schätze dazu wieder den Nenner ab, dieses Mal mit dem kleinsten Summanden, der auftritt.
>
> Danke für jede Hilfe
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:07 Mi 01.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathestudi!
Ergänzend zur anderen Antwort: Du hast hier auch falsch korrekt ausgeklammert.
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
> Hallo Mathestudi!
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> Ergänzend zur anderen Antwort: Du hast hier auch falsch
> ausgeklammert.
Magst du oben nicht nochmal genauer lesen und ...
>
> Es gilt:
>
> [mm]\wurzel{n+\wurzel{n}} \ = \ \wurzel{n}*\wurzel{\wurzel{n}+1}[/mm]
... dies nochmal mathemat. überdenken?
Gruß
schachuzipus
>
>
> Gruß
> Loddar
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