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Hallo,
ich habe folgende Funktion gegeben [mm] f(x)=\bruch{9-x^{2}}{x^{2}-2x-3} [/mm] und habe diese nach Ermittlung des Definitionsbereiches zu [mm] f(x)=-1-\bruch{2}{x+1} [/mm] umgeformt.
Mein Defintionsbereich ist somit :
[mm] D_{f}=(-\infty,-1) \cup [/mm] (-1,3) [mm] \cup (3,\infty)
[/mm]
Nun will ich den Grenzwert für a [mm] \in [/mm] R [mm] \cup \D_{f} [/mm] = [mm] \{-\infty,\infty,-1,3\}
[/mm]
Nun muss ich die Grenzwerte bestimmen. Dies mache ich für
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] f(x)=-1
[mm] \limes_{n\rightarrow\-infty} [/mm] f(x)=-1
[mm] \limes_{n\rightarrow\3} f(x)=-\bruch{3}{2}
[/mm]
Nun muss ich noch den Grenzwert für -1 von links und einmal von rechts betrachten. Weshalb ist das so?
Wieso muss ich dies nicht für die 3 ebenfalls machen? Ich hoffe ihr könnt es mir verständlich erklären, damit ich solche Aufgabentypen bewältigen kann.
Danke im Voraus.
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> Hallo,
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> ich habe folgende Funktion gegeben
> [mm]f(x)=\bruch{9-x^{2}}{x^{2}-2x-3}[/mm] und habe diese nach
> Ermittlung des Definitionsbereiches zu
> [mm]f(x)=-1-\bruch{2}{x+1}[/mm] umgeformt.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> Mein Defintionsbereich ist somit :
>
> [mm]D_{f}=(-\infty,-1) \cup[/mm] (-1,3) [mm]\cup (3,\infty)[/mm]
Widmen wir uns zunächst mal der Frage nach dem Definitionsbereich:
Was du jetzt tust ist folgendens:
1. Du schaust dir den Zähler deiner Funktion an und erkennst durch eine geschickte Umformung die dritte binomische Formel (Tipp: [mm] $9=3^2$).
[/mm]
2. Du berechnest dir die Nullstellen des Nenners und faktorisierst diesen danach. Als Beispiel: Wenn du die Nullstellen zu $3$ und $-1$ berechnest, kannst du das schreiben als [mm] $(x-3)\cdot(x+1)$. [/mm] Dein Definitionsbereich ist nun gleichzeitig der Zahlenraum [mm] $\IR$ [/mm] ohne diese beiden Nullstellen. Warum?: Weil der Nenner numal nicht "0" werden darf.
3. Du schreibst deine Funktion mit den neu gewonnenen Erkenntnissen um und vereinfachst diese.
4. Du schreibst deine Ergebnisse hier her und wir schauen ob es noch hakt und wo du Hilfe benötigst.
Valerie
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Den Definitionsbereich sollte ich vorher angeben, bevor ich umforme.
Ich denke, dass ich jetzt weiß, weshalb ich den limes von links und rechts von -1 bilden muss. Das hängt so wie ich jetzt gesehen habe damit zusammen, dass 3 eine hebbare Lücke und -1 eine Polstelle ist. Stimmts ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:46 Sa 12.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Den Definitionsbereich sollte ich vorher angeben, bevor ich
> umforme.
Ja. Deine Umformung war ja korrekt und auch der Definitionsbereich als Vereinigung von drei beidseitig offenen Intervallen ist nicht falsch, aber ich denke, dass die Schreibweise mittels Mengendifferenz
[mm] $D_f=\IR\backslash\{-1; 3\}$
[/mm]
einfacher und für viele Zwecke übersichtlicher wäre.
> Ich denke, dass ich jetzt weiß, weshalb ich den limes von
> links und rechts von -1 bilden muss. Das hängt so wie ich
> jetzt gesehen habe damit zusammen, dass 3 eine hebbare
> Lücke und -1 eine Polstelle ist. Stimmts ?
Ja, das ist richtig. Allerdings fehlt noch die Begründung, warum du an der Stelle 3 eine hebbare Unstetigkeitsstelle hast. Eine pragmatische Möglichkeit ist, immer den rechts- und linksseitigen Grenzwert zu bilden - stimmen diese überein und sind in der Zielmenge enthalten, dann handelt es sich um eine hebbare Unstetigkeit. Natürlich kannst du auch mit dem kürzbaren Ausdruck $(x-3)$ argumentieren, doch dann müsstest du korrekterweise auch noch prüfen, ob zB 3 nicht eine mehrfache Nullstelle des Nenners ist, ob also nicht auch noch nach dem Kürzen durch $(x-3)$ der Term $(x-3)$ weiterhin abspaltbar ist.
Ist die Stelle nach dem Kürzen keine Unstetigkeitsstelle mehr, ist sie hebbar.
Gruß RMix
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