Grenzwert \wurzel{n^2 + n} - n < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:19 Sa 15.12.2007 | | Autor: | fvs |
| Aufgabe | Für n [mm] \in \IN [/mm] sei [mm] a_n [/mm] = [mm] \wurzel{n^2 + n} [/mm] - n. Zeigen Sie, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}.
[/mm]
Bestimmen Sie dazu zu gegebenem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein [mm] n_0 \in \IN [/mm] mit [mm] |a_n [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für n [mm] \ge n_0. [/mm] |
Hallo.
Ich habe einige Probleme mit dieser Aufgabe, da ich nicht so richtig mit diesem [mm] \varepsilon [/mm] umgehen kann.
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0. Dann gibt es ein [mm] n_0 \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge \n_0, [/mm] so dass gilt:
[mm] |a_n [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}|
[/mm]
= [mm] |\wurzel{n^2 + n} [/mm] - n - [mm] \bruch{1}{2}|
[/mm]
= [mm] |(\wurzel{n^2 + n} [/mm] - n) * [mm] \bruch{\wurzel{n^2 + n} + n}{\wurzel{n^2 + n} + n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}|
[/mm]
= [mm] |\bruch{n^2 + n - n^2}{\wurzel{n^2 + n} + n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}|
[/mm]
= [mm] |\bruch{n}{\wurzel{n^2 + n} + n } [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}|
[/mm]
= [mm] |\bruch{n}{n * (\wurzel{1 + 1/n} + 1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}|
[/mm]
= [mm] |\bruch{1}{\wurzel{1 + 1/n} + 1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}|
[/mm]
= 0
< [mm] \varepsilon
[/mm]
Kann man das so machen?!?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:37 Sa 15.12.2007 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
Wenn du überall noch ein [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] vor schreibst, ist es der Beweis, dass [mm] \bruch{1}{2} [/mm] tatsächlich der Grenzwert ist.
Für den zweiten Teil musst du jedoch dieses [mm] n_0 [/mm] finden.
Dafür brauchst du nur die Ungleichung nach n auflösen.
[mm] |\bruch{1}{\wurzel{1 + 1/n} + 1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{2}-\bruch{1}{\wurzel{1 + 1/n} + 1} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 1> [mm] (\bruch{1}{2}-\varepsilon)*(\wurzel{1 + 1/n} [/mm] + 1)
[mm] \gdw \bruch{1}{\bruch{1}{2}-\varepsilon}-1>\wurzel{1 + 1/n}
[/mm]
[mm] \gdw (\bruch{1}{\bruch{1}{2}-\varepsilon}-1)^2-1> [/mm] 1/n
[mm] \gdw ((\bruch{1}{\bruch{1}{2}-\varepsilon}-1)^2-1)^{-1}< [/mm] n
Noch etwas vereinfachen und wir haben das [mm] n_0 [/mm] gefunden.
Ciao.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:30 Mo 17.12.2007 | | Autor: | fvs |
Hallo.
Habe das jetzt nochmal ein wenig anders aufgeschrieben und das [mm] n_0 [/mm] berechnet. Wäre super, wenn nocheinmal jemand drüber schauen könnte.
Sei [mm] a_n [/mm] = [mm] \wurzel{n^2 + n} [/mm] - n. Dann gilt
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\wurzel{n^2 + n} [/mm] - n)
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} ((\wurzel{n^2 + n} [/mm] - [mm] n)*\bruch{\wurzel{n^2 + n} + n}{\wurzel{n^2 + n} + n}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^2 + n - n^2}{\wurzel{n^2 + n} + n}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{\wurzel{n^2 + n} + n}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{n * (\wurzel{1 + 1/n} + 1)}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel{1 + 1/n} + 1}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Sei nun [mm] \varepsilon [/mm] > 0. Dann gilt
[mm] |\bruch{1}{\wurzel{1 + 1/n} + 1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{2}-\bruch{1}{\wurzel{1 + 1/n} + 1} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 1> [mm] (\bruch{1}{2}-\varepsilon)\cdot{}(\wurzel{1 + 1/n} [/mm] + 1)
[mm] \gdw \bruch{1}{\bruch{1}{2}-\varepsilon}-1>\wurzel{1 + 1/n}
[/mm]
[mm] \gdw (\bruch{1}{\bruch{1}{2}-\varepsilon}-1)^2-1> [/mm] 1/n
[mm] \gdw (\bruch{1}{n}) [/mm] < [mm] \bruch{8\varepsilon}{(2\varepsilon - 1)^2}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] n > [mm] \bruch{(2\varepsilon - 1)^2}{8\varepsilon}
[/mm]
Somit habe ich das [mm] n_0 [/mm] berechnet.
Kann man das ganze so nun machen?
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Hallo fvs!
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Gruß vom
Roadrunner
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