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Forum "Uni-Analysis" - Grenzwertberechnung
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Grenzwertberechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:40 Do 29.12.2005
Autor: aLeX.chill

Aufgabe
Berechnen sie die Grenzwerte:

(Bei a),c),d) lim gg 0)
a) [mm] \limes_{x\rightarrow 0}x²*lnx[/mm]
b) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}x^{n}*e^{-x}[/mm]
c) [mm] \limes_{a\rightarrow 0} \integral_{a}^{1} \bruch{1}{1+x}dx[/mm]
d) [mm] \limes_{x\rightarrow 0}x^{a}*lnx (a>1)[/mm]

Bei a)
würde ich Regel von Lospital anwenden:
[mm] \bruch{1/x}{-2/x³}= \bruch{x³}{-2x}= \bruch{3x²}{-2}=0[/mm]

bei b)
würde ich ebenfalls Lhospital anwenden:
[mm] \bruch{1/x^{n}}{-x/e^{x2}}[/mm]
Aber sieht nach Schwachsinn aus, deshalb denk ich mal falsch.

bei c)
Würd ich normal integrieren
[mm] \bruch{x}{x+1/2x²} [/mm] und dann für x einmal 1 und für x einmal a einsetzen ?!

bei d)
würde ich ebenfalls Lhospital machen
[mm] \bruch{1/x}{-a/x^{a²}} [/mm] Sieht aber auch nicht gut aus, wahrscheinlich ist die Ableitung falsch.

Danke für jeden hilfreichen Tipp!
        
Bezug
Grenzwertberechnung: Korrekturen + Hinweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:05 Do 29.12.2005
Autor: Loddar

Hallo Alex!


> Bei a) würde ich Regel von Lospital anwenden:
> [mm]\bruch{1/x}{-2/x³}= \bruch{x³}{-2x}= \bruch{3x²}{-2}=0[/mm]

[ok] Aber Du hättest das auch mit nur einmal de l'Hospital geschafft, indem Du kürzt:

$... \ = \ [mm] \bruch{x^3}{-2x} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{2}*x^2 [/mm] \ [mm] \longrightarrow [/mm] \ 0$


Außerdem: Bitte immer mit dem [mm] $\lim$ [/mm] schreiben. Schließlich sind diese Brüche in der dargestellten Form nicht identisch, sondern lediglich ihre Grenzwerte:

[mm] $\limes_{x\rightarrow 0}x^2*\ln(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\ln(x)}{x^{-2}} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\bruch{1}{x}}{-2*x^{-3}} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}-\bruch{1}{2}*\bruch{x^3}{x} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}-\bruch{1}{2}*x^2 [/mm] \ = \ 0$


  
> bei b) würde ich ebenfalls Lhospital anwenden:

[ok] Idee richtig, aber ...


> [mm]\bruch{1/x^{n}}{-x/e^{x2}}[/mm]

... Du hast den Bruch falsch dargestellt:  [mm] $x^n*e^{-x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^n}{e^x}$ [/mm]


Nun de l'Hospital anwenden
(allerdings wird die einmalige Anwendung nicht ganz ausreichen ;-) ...).



> bei c) Würd ich normal integrieren

[ok] Auch richtige Idee.

Integriere hier mit Subsitution $z \ := \ 1+x$ und danach die Grenzwertbetrachtung ...



> bei d) würde ich ebenfalls Lhospital machen

[ok]


> [mm]\bruch{1/x}{-a/x^{a²}}[/mm] Sieht aber auch nicht gut aus,
> wahrscheinlich ist die Ableitung falsch.

Da hast Du Recht: die Ableitung stimmt nicht.

Und zwar musst Du den Nenner "ganz normal" nach der MBPotenzregel ableiten:

[mm] $\left( \ x^{-a} \ \right)' [/mm] \ = \ [mm] (-a)*x^{-a-1} [/mm] \ = \ [mm] -a*x^{-(a+1)}$ [/mm]


Anschließend (nach de l'Hospital) kannst Du wie bei a.) zunächst kürzen und dann die Grenzwertbetrachtung durchführen.


Gruß
Loddar

Bezug
                
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Grenzwertberechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:43 Do 29.12.2005
Autor: aLeX.chill

Danke für deine Antwort. Leider bin ich immer noch irgendwie auf dem Kriegspfad bei der Grenzwertbetrachtung,

bei b) =>

[mm] \bruch{x^{n}}{e^{x}}= \bruch{n*x^{n-1}}{e^{x}}= \bruch{n*n-1*x^{n-2}}{e^{x}}= \bruch{n²-n*x^{n-2}}{e^{x}}[/mm] Das kann doch nicht stimmen?!

bei c)=>
[mm] \integral_{a}^{1} \bruch{1}{Z}=[ \bruch{x}{1/2*z²}]= \bruch{x}{1/2*(1+x)²}= \bruch{x}{1/2+1/2x²}[/mm]
Wird wohl auch nicht stimmen ;)

und bei d)=>
[mm] \bruch{1/x}{-a/x^{a+1}}= \bruch{1}{x}* \bruch{x^{a+1}}{-a}}= \bruch{x^{a+1}}{-xa}[/mm]

Hilfe?!
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Grenzwertberechnung: Anmerkungen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:54 Do 29.12.2005
Autor: Loddar

Hallo alex!


> bei b) =>
>  
> [mm]\bruch{x^{n}}{e^{x}}= \bruch{n*x^{n-1}}{e^{x}}= \bruch{n*n-1*x^{n-2}}{e^{x}}= \bruch{n²-n*x^{n-2}}{e^{x}}[/mm]
> Das kann doch nicht stimmen?!

Doch, das stimmt. Aber bitte nicht die Klammern vergessen im Zähler und die Limites (siehe Anmerkung oben)!!

[mm] $\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{x^n}{e^x} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{n*x^{n-1}}{e^x} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{n*(n-1)*x^{n-2}}{e^x} [/mm] \ = \ ...$

Du musst nun noch einige Male de l'Hospital anwenden, bis Du kein $x_$ mehr im Zähler hast (also insgesamt $n_$-mal). Was steht dann im Zähler?


> bei c)=>
>  [mm]\integral_{a}^{1} \bruch{1}{Z}=[ \bruch{x}{1/2*z²}]= \bruch{x}{1/2*(1+x)²}= \bruch{x}{1/2+1/2x²}[/mm]

[notok] Es gilt doch [mm] $\integral{\bruch{1}{t} \ dt} [/mm] \ = \ [mm] \ln|t| [/mm] \ + \ C$



> und bei d)=>
>  [mm]\bruch{1/x}{-a/x^{a+1}}= \bruch{1}{x}* \bruch{x^{a+1}}{-a}}= \bruch{x^{a+1}}{-xa}[/mm]

Nun fasse [mm] $\bruch{x^{a+1}}{x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^{a+1}}{x^1}$ [/mm] gemäß MBPotenzgesetz zusammen (oder alternativ: wende nochmals de l'Hospital an, was aber weniger elegant wäre).


Gruß
Loddar

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Grenzwertberechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:16 Do 29.12.2005
Autor: aLeX.chill

[mm]\bruch{1/x}{-a/x^{a+1}}= \bruch{1}{x}\cdot{} \bruch{x^{a+1}}{-a}}= \bruch{x^{a}}{-a}=0[/mm]

und

[mm]\integral{\bruch{1}{Z} \ dz} \ = \ \ln|z| \ + \ C=ln1+x - ln1+x=ln1+1-ln1+0=ln2-ln1[/mm]

und
wenn ich bei b) das n-ma wiederhole krieg ich 0 im zähler?!


Bezug
                                        
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Grenzwertberechnung: Klammern und Grenzen setzen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:30 Do 29.12.2005
Autor: Loddar

Hallo Alex!


> [mm]\bruch{1/x}{-a/x^{a+1}}= \bruch{1}{x}\cdot{} \bruch{x^{a+1}}{-a}}= \bruch{x^{a}}{-a}=0[/mm]

[ok] Du meinst das richtige (aber die Schreibweise!!!).



> [mm]\integral{\bruch{1}{Z} \ dz} \ = \ \ln|z| \ + \ C=ln1+x - ln1+x=ln1+1-ln1+0=ln2-ln1[/mm]

Bitte aufpassen mit der Schreibweise und auch den Klammern:

[mm] $\limes_{a\rightarrow 0}\integral_{x_1=a}^{x_2=1}{\bruch{1}{z} \ dz} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{a\rightarrow 0}\left[ \ \ln(z) \ \right]_{x_1=a}^{x_2=1} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{a\rightarrow 0}\left[ \ \ln(1+x) \ \right]_{a}^{1} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{a\rightarrow 0}\left[\ln(1+1)-\ln(1+a)\right] [/mm] \ = \ [mm] \ln(2)-\ln(1+0) [/mm] \ = \ [mm] \ln(2)-\ln(1) [/mm] \ = \ [mm] \ln(2)-0 [/mm] \ = \ [mm] \ln(2)$ [/mm]


> wenn ich bei b) das n-ma wiederhole krieg ich 0 im zähler?!

[daumenhoch] Genau!
(Evtl. muss man das auch $n+1_$-mal wiederholen, ich habe jetzt nicht nachgezählt ;-) ...)


Gruß
Loddar

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Grenzwertberechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:39 Do 29.12.2005
Autor: aLeX.chill

Jo vielen Dank für deine Hilfe ! Dass mit dem Grenzwert und Klammern hab ich aus Verinfachungsgründen weggelassen.
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Grenzwertberechnung: Tipp
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:44 Do 29.12.2005
Autor: Loddar

Hallo Alex!


Die Limites aus Bequemlichkeitsgründen wegzulassen, kann ich ja noch verstehen. Dies aber nicht in der Klausur so handhaben ...


Aber die Klammern wegzulassen, ist eine ganz gefährliche Geschichte. Also gleich wieder abgewöhnen!


Gruß
Loddar

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